Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
^2р+1, d — D2p+1 X Gi.
Таким образом, эта группа имеет (2/? —f— 4) класса, что ровно вдвое больше числа классов в группе D2p+1. Новые классы в группе D2p+ld получаются из классов группы D2p+l умножением на I.
Н
Дм
Фиг 63.
«
„Повернутая" форма молекулы С2Н6, показанной на фиг. 63, обладает группой симметрии D3d.
Теперь мы могли бы попытаться присоединить к группе Dn инверсию или зеркальный поворот. Если мы присоединим I, то получится прямое произведение Dn X Qh которое, как мы показали, совпадает с группой Dnh, если п четное, и с группой Dnd, если п нечетное. Аналогично, присоединение к группе зеркального поворота новых групп не дает.
§ 8. Полные группы симметрии многогранников
81
§ 8. Полные группы симметрии правильных многогранников
Последний шаг в нашем перечислении точечных групп состоит в присоединении зеркальных поворотов к группам Г, О и К.
Предположим, что мы хогим присоединить к группе Т какую-нибудь плоскость отражения. Поскольку отражения в этой плоскости не должны приводить к появлению новых осей вращения, эга плоскость должна либо проходить через два противоположных ребра <S4
Сз
Фиг, 65.
куба (см. фиг. 34), либо быть параллельной двум его граням и проходить посередине между ними.
Использование первой возможности приводит к группе Та с характерными осями и плоскостями симметрии, представленными на фиг, 64 и 65. Группа Td обладает всеми видами симметрии, присущими тетраэдру. Причина, по которой эту группу обозначают символом Та, состоит в том, что добавляемая нами плоскость делит пополам угол между двумя горизонтальными осями 2-го порядка. Так же как и в случае группы D2d, это означает, что оси вращения 2-го порядка стали зеркально-поворотными осями 4-го порядка, как это показано на фигурах. Плоскости симметрии проходят через оси 3-го порядка, вследствие чего эти оси являются двусторонними. Все плоскости отражения эквивалентны, и все зеркально-поворотные оси 4-го порядка эквивалентны. Поэтому 24 элемента группы Td оказываются распределенной по 5 классам:
Td: Е; С3, С§(8); S4, S3,(6); S24 = C2(3); ^(6).
Использование второй возможности приводит к группе Th с характерными осями, показанными на фиг, 66. Индекс h означает, что соответствующая плоскость расположена горизонтально относительно
82
Глава 2, Группы симметрии
Фиг, 67,
Н
Фиг, 68, Фиг, 69,
осей 2-го порядка, однако эга плоскость делит пополам угол между двумя осями 3-го порядка и тем самым превращает их в зеркальноповоротные оси 6-го порядка. Поскольку группа содержит S6, она содержит и /, и, следовательно, можно записать, что
Th = TXGi.
Поэтому группа Th содержит 24 элемента, принадлежащих 8 классам, которые получаются из классов группы Т. Другие возможные варианты присоединения новых элементов уже включены в группу Th и Td,
В случае группы О положение присоединяемой плоскости отражения ограничено так же, как в случае группы Т, Но на этот раз добавление одного типа плоскости тотчас же порождает другой тип. Так же как и в случае группы Tk, С3-оси становятся Sg-осями, и группа включает в себя инверсию /, Следовательно, группу Oh можно представить в виде 0Л = О X и группа 0Л становится группой
§ 9, Обзор точечных групп
83
всех преобразований симметрии куба (фиг. 67), Эта группа содержит 48 элементов, распределенных по Ю классам (что вдвое превышет число классов в группе О):
Он\ Е\ С2(6); Сз, С\ (8); С4, С34(6); С\(3);
/; а* (6); S6, Si(8); С4аЛ, C\oh(6); аА(3).
Наконец, мы можем присоединить инверсию I к группе Y, в результате чего получим
Vn^YXGt.
Эта группа является полной группой симметрии икосаэдра. Мы не будем рассматривать ее более подробно, поскольку она не представляет интереса для физики.
В силу того что группа Td обладает полной симметрией тетраэдра, к ней относятся все тетраэдрические молекулы, такие, как СН4 и СС14, Молекула метана изображена на фиг, 68, Гексафторид урана UF6 обладает группой симметрии 0Л и представлен на фиг. 69.
§ 9. Обзор точечных групп. Другие системы обозначений
Мы нашли все возможные точечные группы. Лишь 32 из них находятся в соответствии с законом рациональных индексов. При рассмотрении различных систем мы уже приводили свойства этих групп, указывая каждый раз число элементов в группе.
I. Триклинная система
1- G\ (1); 2, Є,(2).
II. Моноклинная система
3, С?2л(4); 4, е2(2); 5, Gs(2).
III. Ромбическая система
6, D2ft(8); 7, D2 = V (4); 8, G2v(4).
IV. Тригональная система
9. D3h(12); Н). D3(6); 11. G3v(6); 12, ЗД; 13, Є3(3).
V. Тетрагональная система
14- Діл(16); 15, D4(8); 16. Є4„(8); 17. Є4Л(8); 18. Є4(4).
VI. Гексагональная система
19. D6h(24); 20, D6(12); 21. GRv( 12); 22, Є6Л(12);
23, Є6(6).
VII. Кубическая система
24. Ол(48); 25.0(24); 26. 7^(24); 27. 7'л(24); 28.7(12).
84
Глава 2, Группы симметрии
Из числа оставшихся групп группы 29 К?ЗЛ(6)] и 30 [D3(,(12)] обычно включают в систему VI, а группы 31 [S4(4)j и 32 [D2d(8)J — в систему V.
Заметим, что в каждой системе группы, перечисленные первыми, обладают наибольшей симметрией. В системах IV—VII симметрия первой группы в системе носит название „голоэдрической" (обладающей полным набором кристаллических граней). После этой группы идут три группы, у которых число элементов в 2 раза меньше (геми-эдрия). Что же касается пятой группы в системе, то она имеет лишь четвертую часть от числа элементов первой группы (тетартоэдрия).
