Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Эквивалентные оси и плоскости. Двусторонние оси
57
Фиг. 8. Фиг. 9.
Фиг. 10.
группе симметрии, то направления поворотов вокруг эквивалентных осей будут связаны между собой так, как показано на фигуре. С другой стороны, если при действии некоторого поворота из числа входящих в группу ось А А переходила бы не в ось В'В, а в ось ВВ', то схема преобразования имела бы вид, приведенный на фиг. 9.
68
Глава 2. Группы симметрии
В обоих случаях поворотами вокруг оси В'В, сопряженными с данным поворотом вокруг оси А'А, служат повороты на равные углы в противоположных направлениях. Рассмотрим теперь фиг. 10. Предположим, что в группе существует какой-то поворот р, который переводит А'А в АА', например поворот на угол я вокруг прямой CR
А
Фиг. 11.
(так что р2 = ?, р = р-1). Если поворот С(ф) на угол ф вокруг оси А'А переводит точку Я в Р', то трансформация поворота С(ф) поворотом р, а именно поворот рС(ф)р, переводит точку Я в точку Q" и представляет собой некоторый поворот вокруг оси А'А на угол ф в обратном направлении. Чтобы увидеть это, выполним поворот рС(ф)р постепенно: например, поворот р переводит точку Я в точку Q, затем поворот С(ф) переводит Q в Q' и, наконец, р переводит Q' в Q". Коль скоро в группе имеется некоторый поворот, который ось А'А переводит в АА', мы говорим, что А'А есть двусторонняя рсь. Как видно из фиг. 10, повороты вокруг А'А на равные углы
§ 2. Эквивалентные оси и плоскости. Двусторонние оси
59
в противоположных направлениях сопряжены друг с другом. Если А'/1 является осью симметрии л-го порядка, то повороты Ckn и Ch~k = С„к сопряжены друг с другом. Итак, мы получаем результат, состоящий в том, что для двусторонней оси любое вращение и обратное ему вращение принадлежат одному и тому же классу.
А
Предположим далее, что имеется плоскость симметрии, перпендикулярная А А', а именно плоскость экватора на фиг. 11. Если поворот С(ф) переводит точку Р в Р', то трансформация этого поворота адС(ф)а^"1 отражением оЛ задает следующую последовательность операций: = аЛ переводит Р в Q, затем С (ф) переводит Q в Q'
и, наконец, ал переводит Q' в Р', так что
°лС (Ф) стл 1 = С (Ф), (2-8)
что очевидно из высказанного нами ранее утверждения о том, что ал коммутирует с С(ф). Операция ол меняет направление оси на противоположное и в то же время изменяет направление вращения так,
60
Глава 2. Группы симметрии
как это следует из правила правой руки, в результате чего мы получаем тот же самый поворот, что и прежде, и ось А'А не является двусторонней (см. фиг. 11).
С другой стороны, предположим, что существует плоскость симметрии, проходящая через ось АА' (перпендикулярно плоскости страницы) так, как это изображено на фиг. 12. Операция ov не меняет направления оси (она переводит А'А в А'А), но меняет направление вращения. На фиг. 12 С(ф) переводит Р в Р', преобразование же ог,С(ф)аг;1 переводит Р сначала в Q, затем Q в Q' и, наконец, Q' в Q", так что
о С (ф) о^1 = а С (ф) а, = С (— ф). (2.9)
В этом случае ось А'А двусторонняя.
После этих предварительных замечаний мы можем перейти к нашей задаче. Наши операции симметрии можно разделить на два типа: чистые повороты и зеркальные повороты (включающие как частные случаи отражение и инверсию). Сначала мы построим точечные группы, которые содержат только повороты.
§ 3. Группы, элементами которых служат чистые повороты: группы поворотов вокруг оси, группы диэдров
В этой категории групп прежде всего рассмотрим случай, когда у нас имеется только одна поворотная ось симметрии. За эту главную ось выберем ось Z. Число элементов в такой группе равно порядку оси. Если ось имеет порядок п, мы будем обозначать группу симметрии символом Gn.
I. Группы, имеющие только одну поворотную ось п-го порядка: Оп.
Группа G\ содержит только тождественное преобразование Е и соответствует полному отсутствию симметрии. Все группы этого типа циклические, и каждый элемент такой группы сам по себе образует класс. Чтобы представить себе наглядно этот тип симметрии, изобразим ряд эквивалентных точек на стереографической проекции. Для я=1, 2, 3, 4 и 6 эти точки указаны на фиг. 13—17.
Следует особо подчеркнуть, что на фиг. 13—17 показан только один набор эквивалентных полюсов. Очевидно, что этих полюсов недостаточно для того, чтобы ограничить объем кристаллов. (Чтобы ограничить некоторый объем, необходимо по крайней мере четыре грани.) Изображение полного набора полюсов, обладающего требуемой симметрией (но не обладающего симметрией более высокого порядка) привело бы к чрезвычайному усложнению наших схем. На фиг. 18 показан полный набор полюсов для кристалла с симметрией 6\- Строить изображения молекулярных конфигураций, обла-
§ 3. Группы чистых поворотов, группы диэдров
61
дающих нужным типом симметрии, несколько легче, так как мы можем варьировать расстояния от атомов до центра и пользоваться ядрами разных сортов. На фиг. 19 и 20 показаны молекулы, обладающие
(?, = (!) Фиг. 13.
(?2 — (2) Фиг. 14.
<?ds(3) Фиг. 15.
группами симметрии С2 и (?3. Молекула, содержащая четыре различных ядра, не лежащих в одной плоскости, „принадлежала" бы группе Gi (т. е. не обладала бы никакой симметрией). На фиг. 19 изображена молекула Н2С=СС12 в виде конфигурации, части которой повернуты друг относительно друга, обладающая группой симметрии (32. (Если бы эта молекула была плоской, дна обладала бы, как мы увидим далее,
