Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
(6’п)п = (СпаЛ)п = (Сп)п(аЛ)п, (2.5)
откуда при четном п следует, что
(Sn)n = E.
однако при нечетном п
(Sn)n = oh.
Таким образом, в случае нечетного п, если тело обладает симметрией Sn, то оно также обладает симметриями аЛ и С„ в качестве независимых элементов симметрии.
Чрезвычайно важным представляется случай зеркально-поворонюй оси 2-го порядка: S2 есть поворот на угол я вокруг некоторой оси, после которого выполняется отражение в плоскости, перпендикулярной этой оси. Результат этой сложной операции, которую мы назовем инверсией, состоит в том, что каждая точка Р тела переходит в точку Р', которая является ее образом при инверсии относительно фиксированной точки О: точки Р и Р' расположены на прямой POP' по разные стороны от точки О и на одинаковом расстоянии от этой точки. Обозначив инверсию символом /, получим
/ = 52 = C2aft. (2.6)
Из (2.6) следует, что
C2 = /aft, aft = /C2. (2.6а)
Все три элемента симметрии /, ал и С2 коммутируют. Если любые два из этих элементов принадлежат группе симметрии, то и третий элемент также принадлежит ей.
S 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры
55
Рассмотрим теперь несколько простых свойств последовательных отражений в различных плоскостях или поворотов вокруг различных осей. Прежде всего заметим, что произведение поворотов вокруг двух осей, проходящих через точку О, есть снова поворот вокруг некоторой оси, проходящей через О. Рассмотрим, далее, произведение отражений в двух плоскостях, пересекающихся по некоторой прямой. Пусть на фиг. 6 прямые v и v' будут следами двух плоскостей, а точка О — следом линии пересечения этих плоскостей. Пусть ф — угол между плоскостями. Отражая точку сначала в плоскости v',
О
Фиг. 6.
О
P'i
Фиг. 7.
а затем в плоскости V, мы видим, что точка Р переходит в точку Р', а затем в точку Р", где ОР = ОР' = ОР". По построению угол между ОР и ОР" равен 2ф. Таким образом,
avav’ = С(2ф), (2.7)
где С(2ф) —поворот на угол 2ф вокруг линии пересечения плоскостей
в направлении от v' к V. Точно так же av’<3v есть поворот на тот же
самый угол вокруг той же оси, но в противоположном направлении. Из сказанного видно, что преобразования av и (V не коммутируют, за исключением частных случаев, когда ф = я/2 и их произведение равно С2, и тривиального случая ф = я, когда 0V=0V’. Умножая равенство (2.7) слева на ov, находим
oV’ = avC( 2ф). (2.7а)
Таким образом, произведение поворота на данный угол вокруг некоторой оси и отражения в плоскости, проходящей через эту ось, есть отражение во второй плоскости, проходящей через ту же ofl}
56
Г лава 2. Группы симметрии
и образующей с первой плоскостью угол, равный половине угла поворота. Мы снова получаем три взаимно независимых элемента симметрии. Из наличия любых двух элементов симметрии [Ор, (V и С(2ф)] следует наличие третьего.
Другое важное свойство показано на фиг. 7: отрезок ОР вертикальный, Оа и ОЬ лежат в горизонтальной плоскости. Рассмотрим результат последовательного выполнения поворотов на угол я сначала вокруг Оа, а затем вокруг ОЬ. Поворот вокруг Оа оставляет Оа на месте и перемещает точку Р в положение Р' {ОР — ОР'). Если затем мы совершим поворот на угол я вокруг ОЬ, то точка Р' возвратится обратно в точку Р, так что произведение этих поворотов должно быть каким-то поворотом вокруг прямой POP'. Точка а, которая оставалась неподвижной при первом повороте, теперь перейдет в положение а' на фиг. 7. Таким образом, последовательное выполнение поворотов на угол я вокруг двух осей, образующих между собой угол ф, дает в результате поворот на угол 2ф вокруг оси, перпендикулярной к первым двум. В частности, если оси X и Y являются поворотными осями 2-го порядка, то и ось Z является поворотной осью 2-го порядка.
§ 2. Эквивалентные оси и плоскости. Двусторонние оси
Перечислив возможные точечные группы симметрии, мы найдем, каким образом эти группы можно разбить на классы. Один важный способ получения сопряженных преобразований уже упоминался в § 5 гл. 1. Теперь мы рассмотрим его подробно. Если, как это изображено на фиг. 2, мы имеем вертикальную ось 3-го порядка и если прямая ОР есть ось я-го порядка, /го ОР" и ОР"' также должны быть осями п-го порядка. Все повороты на один и тот же угол вокруг этих трех осей принадлежат к одному и тому же классу. Все оси (или плоскости), которые можно совместить с помощью какой-либо операции, принадлежащей группе, называются эквива-лентными осями (или плоскостями). Повороты на один и тот же угол вокруг эквивалентных осей принадлежат одному и тому же классу. То же правило применимо и к зеркально-поворотным операциям вокруг эквивалентных осей.
Этот результат ничего не дает нам в частном случае поворотов или зеркальных поворотов вокруг одной и той же оси. Чтобы понять, как мы действуем в этом случае, рассмотрим еще раз, что мы делали при получении эквивалентных осей. Когда мы описываем поворот вокруг некоторой оси, мы прежде всего задаем направление оси и указываем положительное направление вращения, например, с помощью правила правой руки. Если на фиг. 8 ось А'А можно перевести в положение В В с помощью одного из поворотов, принадлежащих
