Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
1, 2, 3 или 6. Если группа содержит элемент а порядка 6, то она
является циклической группой а, а2.......а6=е. Чтобы найти другие
возможные структуры, предположим, что группа не содержит элемента порядка 6, но имеет элемент а порядка 3. Таким образом, эта группа содержит подгруппу а, а2, а3=е. Если группа содержит еще и другой элемент Ь, то она содержит шесть различных элементов е, а, а2, Ь, Ьа, Ьа2. Порядок элемента Ь равен 2 или 3. Если порядок элемента b равен 3, т. е. Ь3=е, то элемент Ь2 должен быть одним из перечисленных выше 6 элементов. Равенство Ь2=е ВЫПОЛНЯТЬСЯ не может (поскольку мы предположили, что порядок Ь равен 3),
38
Глава 1. Элементы теории групп
из равенства же Ь2—Ь, Ьа или Ьа2 следует, что Ь = е, а или а2 соответственно, что противоречит нашим предположениям о том, что элемент Ь отличается от этих элементов. Кроме того, так как Ь2=а, то Ьа=е, а из того, что Ь2 = а2, следует Ьа2=е\ и в том и в другом случае это противоречит сделанным нами предположениям. Таким образом, порядок элемента Ь не может быть равным 3 и мы должны иметь: Ь2=е. Произведение аЬ не может быть равным е, а, а2 или Ь. Если ab = ba, то
(ab)2 = (ab) (ab) = (ab) Ьа = аЬ2а - а2,
(аЬ)ъ = a2 (ab) = b\ (ab)4 = a, (abf = ba2, (аЬ)ъ = е.
Следовательно, группа содержала бы элемент ab порядка 6, вопреки нашему предположению. (То же можно проделать короче: порядок а равен 2, порядок Ь равен 3 и ab = ba, т. е. а и Ь коммутируют. Возводя ab в различные степени, мы видим, что порядок элемента ab равен наименьшему кратному порядков элементов а и Ь.) Остаются равенства
Ь2=е, ab^=ba2.
Из ab = ba2 следует, что (ab)2 = (ab) Ьа2 = е.
Это последнее предположение не приводит к противоречиям. Найденную таким образом группу порядка 6 можно кратко охарактеризовать так: она образована всеми возможными произведениями элементов а и Ь, причем
аъ = Ь2 = (аЬ)2 : е.
Легко построить групповую таблицу
е а а2 Ь Ьа Ьа2
а а2 е Ьа2 Ь Ьа
а2 е а Ьа Ьа2 Ь
Ь Ьа Ьа2 е а аг
Ьа Ьа2 Ь а2 е а
Ьа2 Ь Ьа а й2 е
Эта группа изоморфна группе 53.
| Задана. Найдите возможные структуры групп порядка 8.
§ 5. Классы сопряженных элементов
Говорят, что элемент Ь в группе G сопряжен элементу а, если в группе G можно найти элемент и такой, что
иаи~1 = Ь. (1-22)
§ 5. Классы сопряженных элементов
39
Иногда говорят, что b есть трансформация элемента а элементом и. Выбрав и = е, мы видим, что элемент а сопряжен самому себе. Точно
так же, если элемент Ь сопряжен а к с сопряжен Ь, то с сопряжен а,
так как если
c = vbv~l, b = uau~l,
то
с = vuau~1v~1 = (да) а (да)-1.
Далее, из (1.22) следует, что а = и~1Ь (и-1)-1, поэтому если элемент b сопряжен а, то элемент а сопряжен Ь. Таким образом, мы имеем отношение между элементами, которое удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к отношению эквивалентности (символ =):
1) asa;
2) если а^Ь, то Ь^.а\
3) если а = ? и Ь=с, то а = с.
Отношением эквивалентности можно воспользоваться для того, чтобы разбить некоторое множество на непересекающиеся классы — в нашем случае для того, чтобы разбить группы на классы сопряженных элементов. В абелевой группе каждый элемент сам по себе образует класс, так как bab~l = а при любых а и Ь. Во всякой группе единичный элемент е образует класс. Заметим, что все элементы, принадлежащие одному и тому же классу, имеют одинаковый порядок: если ан = е к Ь = иаи~х, то
= (uau~1)h = иаи~х иаи~х ... = иан и-1 = иеи~1 = е.
Сопряженные преобразования. Для группы преобразований понятие сопряженных элементов имеет простой физический смысл. Предположим, что а—отражение в плоскости Р и с — вращение вокруг некоторой оси. Так как а оставляет каждую точку х плоскости Р неизменной, ах = х. Тогда
(сас-1) (сх) = сах = сх.
Таким образом, преобразование сас~1 оставляет множество точек сх неизменным. Иначе говоря, сас~1 есть отражение в плоскости, которая получится из плоскости Р, если последнюю подвергнуть повороту с. Аналогично, если а означает вращение вокруг некоторой оси, то сас~1 означает вращение на тот же угол вокруг оси, получающейся из первой при преобразовании с.
Предположим, например, что группа содержит элемент а, который представляет собой поворот на угол <р вокруг прямой I. Пусть с —некоторое другое преобразование той же группы, например параллельный перенос. Тогда с переводит прямую I в какую-то другую
40
Глава 1. Элементы теории групп
прямую Преобразование сас~1 обладает следующими свойствами: с-1 переводит прямую I' в прямую Г, кроме того, а есть вращение на угол ф вокруг I, оно оставляет точки прямой I неподвижными; наконец, с переводит I снова в V. В результате точки прямой I' остаются неподвижными; следовательно, сас~1 есть поворот (на угол ф) вокруг прямой V.
Сопряженные перестановки. Применим теперь понятие сопряженных элементов к перестановкам. Предположим, что а—это перестановка
мы применяем перестановку b к верхней и нижней строкам перестановки а порознь. Пусть, например,
Применим перестановку b к верхней строке перестановки а (при этом 1234 перейдет в 2134) и к нижней строке перестановки а (при
