Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
U' V' W' /О 1
~ : = (2-Ю)
где щ, п2 и л3—целые числа. Заметим, что параллельное перемещение какой-либо плоскости или использование вместо величин отрезков, отсекаемых гранью на осях, обратных величин, ничего не изменяет в соотношении (2.10). В этом законе нашли свое выражение результаты измерений, проведенных на кристаллах. Следует проверить, является ли этот закон непротиворечивым с точки зрения математики. Плоскости граней, рассмотренные в соотношении (2.10), образуют новые ребра, которые также можно использовать в качестве осей. Для этих новых осей мы можем воспользоваться плоскостями, образованными старыми осями, чтобы получить соотношение, аналогичное соотношению (2.10). Для непротиворечивости мы должны потребовать, чтобы рассматриваемые отношения снова были целыми числами. Полное доказательство в случае трех измерений весьма длинно. Вместо него мы набросаем в общих чертах, как протекает наиболее характерная часть доказательства в более простом двумерном случае. Пусть ОО' и ОО" на фиг. 29 будут прямыми, параллельными ребрам кристалла, a SR и ТО' —две грани кристаллической решетки. На ОО' и ОО" эти плоскости отсекают отрезки, которые должны удовлетворять соотношению
и/и' __
v[v' Г’
66
Г лава 2. Г руппы симметрии
где г—рационально. Из чертежа
sin ОТ O' v' sin OSR v_
sin ОО'Т и.' ’ sin ORS и ’
Если теперь мы воспользуемся осями PR и РО' и рассмотрим
грани 00' и 00", то отношение индексов примет вид
PS/PR PS/PT sin РТО sin PRO'
РТ/РО' ~~ PR/PO’ ~~ sin PST sin РО'R ~
_ sin ОТО' sin ORS _v'/u' r
sin OSR sin OO'T v/u Г'¦
Доказательство непротиворечивости в сущности является доказательством теорем о двойном отношении в проективной геометрии.
Пользуясь законом рациональных индексов, мы докажем теперь, что при л^-5 единственно возможным порядком поворотной (или зеркально-поворотной) оси является л = 6. Предположим, что вертикальная ось на фиг. 30 есть ось /г-го порядка, причем п 5. В этом случае, начав с полюса 1, мы можем образовать набор, состоящий самое малое из пяти полюсов. Все эти полюсы лежат на одной параллели. Радиусы, проведенные из центра сферы в полюсы, служат нормалями к граням кристалла. Все радиусы образуют с вертикалью один и тот же угол 0. Пусть п1( п2, п3, п4, п5 — единичные векторы, направленные по этим нормалям. Проекции всех этих векторов на вертикальное направление одинаковы и равны cos0. Их проекции на горизонтальную плоскость имеют одинаковую величину sin0, и угол ф между соседними проекциями равен 2п/л, как это показано на фиг. 30. (Для зеркально-поворотной оси нормали, например, 1 и 3 изменят свое направление, однако для нашего доказательства это несущественно.)
§ 4. Закон рациональных индексов
67
Любые две грани кристалла определяют ребро кристалла, которое лежит в плоскости как той, так и другой грани и поэтому перпендикулярно к нормалям, приведенным к каждой плоскости. Таким образом ребро, образованное гранями, проходящими через полюсы 1 и 2, имеет направление, задаваемое векторным произведением rij X п2. Выберем в качестве осей ребра кристалла
X n2, n2 X п3, П! X п3.
Применим теперь к граням кристалла, проходящим через полюсы 4 и 5 (или к параллельным им плоскостям), закон рациональных
индексов. На фиг. 31 показано, что если п есть единичный вектор, перпендикулярный грани кристалла F, то отрезок, отсекаемый гранью F на оси v равен 1/v • п. Мы будем оперировать с величинами, обратными длинам отрезков, отсекаемых гранями на осях, поэтому нам потребуются произведения
п4 • Iij х П2, п4 • n2 х П3, п4 • П! х П3
и аналогичные произведения для вектора п5. Значения всех этих
величин можно получить из фиг. 30. Легко видеть, что отрезки, отсекаемые на осях, имеют общий множитель sin2 0 cos 0, который сокращается, когда мы переходим к отношениям. Закон рациональных индексов в этом случае означает, что
sin Зг|з — sin 2г|з — sin г|з _ sin 2г|з — sin г|з — sin т|; ^^ #
sin2t|) — sin\|) — sin г): ' sin — sin2\|) — sin ‘ '
68
Глава 2. Группы симметрии
где а, Ь и с — целые числа, или же
sin Зг|з — sin 2-ф — sin г|з _
sin2\|) — sin "ф -— sin г): ’
sin Зф — sin 2ф — sin ф 2 cos (5г|з/2) sin (г|з/2) — 2 sin (г|з/2) cos (г|з/2)
sin 2г|і — sin ф — sin if 2 cos (Зг|з/2) sin (г|з/2) — 2 sin (г|з/2) cos (г|з/2)
___ cos (5г|з/2) — cos (г|з/2) _
cos (Зг|з/2) — cos (г|)/2)
_ sin 3 (г|з/2) _ о cost—r — sin (г|з/2)
где r — рациональное число.
Отсюда следует, что cos ф = cos (2л/п) — рациональное число. При п'^> 5 единственно возможным решением служит число п= 6 (cos л/З = 1/2). Тем самым наша теорема доказана.
§ б. Группы, элементами которых служат чистые повороты. Правильные многогранники
Обратимся теперь снова к группам, содержащим только повороты. Наш следующий шаг состоит в рассмотрении групп, имеющих больше одной оси п-го порядка (п > 2). Среди всех этих осей п-го порядка выберем две, которые образуют друг с другом наименьший угол.
Р,
Фиг. 32.
Точки, в которых оси пересекаются с единичной сферой (полюсы), представлены на фиг. 32. Предположим, что точки Р0 и Рх являются полюсами наиболее близких друг к другу осей. Иначе говоря, предположим, что дуга большого круга Р0РХ—самая короткая из дуг большого круга, соединяющих любые два полюса осей п-то порядка. Если теперь мы произведем поворот вокруг оси Р0 п-го порядка, ТО из оси Pj мы получим новые оси /г-го порядка, число которых
