Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
4 к
• /?
¦ 0
Ґ"
/
\q
Фиг. 1.
Заметим, что расстояние от „центра” до граней кристалла неодинаково для всех образцов. Итак, простейший метод описания кристалла состоит в том, что на поверхности единичной сферы указываются полюсы многогранника, т. е. точки, в которых нормали к граням кристалла пересекают поверхность сферы. Для получения формы кристалла по его полюсной диаграмме нам нужно лишь провести касательные плоскости к единичной сфере во всех полюсах и получить замкнутый многогранник.
Чтобы представить полюсную фигуру в двух измерениях, воспользуемся стереографической проекцией. На фиг. 2 мы соединяем полюс Р на единичной сфере с южным полюсом S, Точка пересечения Я' прямой PS с плоскостью экватора является стереографической проекцией точки Р. Чтобы показать полюсы на стереографической проекции, проведем окружность экватора АВ и отметим проекцию полюсов незаштрихованными маленькими кружками (фиг. 3). Заметим, что все точки северной полусферы проектируются на внутренность экваториального круга, а точки, лежащие на экваторе, проектируются на границу этого круга. Если бы мы точки южной полусферы рассматривали точно таким же образом, то их проекции расположились бы
52
Ґлава 2. Группы симметрии
вне единичного круга, а проекция южного полюса 5 ушла бы в бесконечность. Чтобы избежать несимметричного подхода к рассмотрению двух половинок сферы, мы будем пользоваться полюсом 5 для
N
Фиг. 2.
проектирования точек верхней полусферы; точки же, лежащие на нижней полусфере, будут проектироваться из северного полюса N. Чтобы различать эти случаи, можно либо воспользоваться двумя различными кругами (по одному для каждой полусферы), либо же, как сделаем мы, отмечать проекции полюсов нижней полусферы крестиками. Например, на фиг. 3 точка Т является образом точки нижней
полусферы, а точка V и U" (кружок с крестом) означают, что имеются два полюса (по одному на каждой полусфере), каждый из которых является зеркальным отражением другого в плоскости экватора.
Из-за наличия оси 3-го порядка изображением точек Р, Р' и Р" на фиг. 1 служат три точки, лежащие на одной параллели так, как показано на фиг. 2. Стереографическая проекция тех же самых точек изображена на фиг. 4.
§ 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры
53
Если к сфере на фиг. 2 мы проведем касательные плоскости в точках Р, Р" и Р"', то получим треугольную пирамиду с вершиной, лежащей на оси 3-го порядка. Если к указанным точкам мы добавим тройку полюсов Q, Q" и Q'", лежащих на экваторе, мы получим треугольную призму. Чтобы замкнуть многогранник, нам понадобится еще одна тройка точек R, R" и R'" на нижней полусфере. Заметим, что одних только точек Р и R достаточно для получения замкнутого многогранника, но для получения более сложных фигур мы можем добавлять тройки таких точек, как точки Q. Чтобы избежать таких случаев, когда фигура будет обладать симметрией более высокой, чем симметрия с осью 3-го порядка, мы должны быть уверенными в том, что между положениями точек Р и R не существует никакого простого соотношения. Убедиться в этом легче, если рассматривается задача о симметрии молекулы, поскольку в этом случае, как видно из фиг. 1, мы можем изменять расстояние от атома до оси.
Следует заметить, что первая операция симметрии — вращение — такова, что может перемещать тело как абсолютно твердое из начального положения в конечное. Вторая основная операция—отражение в плоскости — носит иной характер. Она не отвечает никакому физически возможному перемещению тела как единого целого. Фигуры, которые могут быть наложены друг на друга только после зеркального отражения, называются энантиоморфними.
Для обозначения отражения в плоскости мы воспользуемся символом о. Поскольку два отражения в одной и той же плоскости возвращают нас в исходное положение, имеем
а2 = Е, (2.3)
из чего следует, что отражение в плоскости есть элемент порядка 2. Если будет необходимо как-то выделить плоскость отражения, мы будем указывать ее с помощью индекса. В общем случае мы будем иметь одну ось вращательной симметрии, причем вращательная симметрия будет основным видом симметрии тела. Если дело обстоит именно так, мы будем обозначать отражение в плоскости, перпендикулярной этой главной оси, символом оЛ (Л — горизонтальный), а символом av мы будем обозначать отражение в плоскости, проходящей через эту ось (v — вертикальный).
Совместное применение рассмотренных нами двух основных операций (поворот вокруг оси и отражение в перпендикулярной ей плоскости) приводит к преобразованию симметрии, которое мы назовем зеркально-поворотной симметрией (Drehspiegelung). Говорят, что тело обладает зеркально-поворотной осью п-го порядка, если оно переходит в себя при операции, состоящей из поворота на угол 2я/и вокруг этой оси и отражения в перпендикулярной к ней плоскости (фиг. 5). Эту операцию мы обозначим Sn. Очевидно, что
Sn = Cnah — оЛС„, (2.4)
54
Г лава 2. Группы симметрии
причем мы заметим, что поворот вокруг оси и отражение в перпендикулярной ей плоскости коммутируют друг с другом. Из соотношений (2.2) — (2.4) мы получим
