Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Этот метод равным образом применим и в том случае, если пере* становки заданы в виде циклов; например, а = (12) (345) и Ь = = (24135). В этом случае ЬаЬ~х = (34) (512). Мы видим, что сопряженные перестановки имеют одинаковую структуру с точки зрения их разложений на циклы, так что перестановки, относящиеся к заданному классу, либо все четны, либо все нечетны. Например, в группе 53 элемент е образует класс, состоящий лишь из одного элемента. Кроме того, один класс образуют элементы (12), (13), (23). Элементы (123), (213) также образуют класс. Таким образом, груп-
и Ь—перестановка
Тогда
этом 4321 перейдет в 4312); таким образом, bab~l имеет вид
§ 5. Классы сопряженных элементов
41
па S3 содержит три класса сопряженных элементов. В группе 54 различными являются классы:
1. е\
2. (12). (13). (14), (23), (24), (34);
3. (12) (34), (13)(24), (14) (23);
4. (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243);
5. (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432).
Задача. Разбейте элементы группы 56 на классы сопряженных элементов.
Общий метод должен быть ясен из процедуры, которой мы пользовались в примере с группой 54. Перестановки группы Sn действуют на совокупность п символов. Представим себе, что мы разложили перестановки на независимые циклы. Пусть число циклов, состоящих из 1 символа, равно число циклов, состоящих из 2 символов,
равно v2....... число циклов из п символов равно v„. Поскольку
полное число символов равно п, должно выполняться равенство
V! + 2v2+ ... -\-п\п = п. (1-23)
О перестановке, которая при разложении на независимые циклы
имеет V! циклов длины 1, v2 циклов длины 2.........v„ циклов длины п,
говорят, что она обладает циклической структурой (lv', 2vs.......я'л),
или кратко (v). Как мы уже видели, все перестановки группы Sn, обладающие одинаковой циклической структурой (v), образуют класс сопряженных элементов в Sn. Каждое решение уравнения (1.23)
в целых положительных числах V!.......... v„ задает в Sn некоторый
класс. Следовательно, число классов в точности равно числу таких решений. Если ввести обозначения
V1 —f- v2 ~Ь- ••• 4_vn=:^l.
v2 + v3+ ••• +vn—^2. (1-24)
V„ Xn,
TO
—)— Я,2 —I— ... —|— Xn = n и A,2 ... >X„>0. (1.25)
Представление числа n в виде суммы п целых чисел такое, как в (1.25), называется разбиением числа п. Из (1.23)—(1.25) следует, что каждое решение уравнения (1.23) (в неотрицательных целых числах) соответствует разбиению числа п вида (Xj......Хп). Обратно,
42
Глава 1. Элементы теории групп
если разбиение задано, как это сделано в (1.25), то существует соответствующая ему структура разложения на циклы, а именно:
vi — ^1 — ^2*
v2 = Х2 — Х3, (1.26)
v„ = V
Обычно у нас нет необходимости записывать те слагаемые % в (1.25), которые равны 0. Например, разбиение числа 5
(22100),
т. е. 5 = 2 —|— 2 —[— 1 —|— 0 —[— 0 = —|— “I- • • • “I- ^5» записывают
в виде (221), или еще более кратко в виде (221). Согласно равенствам (1.26), соответствующая такому разбиению структура разложения на циклы имеет-вид
vx = Я,х — ?»2 = 2 — 2 = 0,
v2 = Х2 — ^з=2 — 1 = 1,
v3 = Х3 = 1,
т. е. состоит из одного цикла длины 2 и одного цикла длины 3.
Аналогично, в случае группы S6 разбиению (313) отвечает набор
V! = 2, v2= 0, v3 = 0, v4= 1,
вследствие чего циклическая структура, соответствующая разбие-
нию (313), состоит из двух циклов единичной длины и одного цикла длины 4.
Транспозиция в группе Sn содержит один цикл длины 2 и (п—2) цикла единичной длины, поэтому разбиение, соответствующее такой
циклической структуре, имеет вид (п----------------1, 1).
Мы видим, что задача о нахождении числа классов сопряженных элементов в группе Sn сводится к задаче о разбиении числа п. Перечислим такие разбиения и укажем полное число г всех классов для нескольких первых симметрических групп:
5,: (1); г=1,
S2: (2), (І2); г = 2,
53: (3), (21), (13); г = 3,
S4: (4), (31), (22), (212), (И); г = 5.
Обратите внимание на порядок, в котором мы записываем разбиения. Разбиение, у которого А,! максимально, записывается первым. Есщ
§ 5. Классы сопряженных элементов
43
же два разбиения имеют одинаковые At, то первым записы-
вается то из них, у которого Ai+1 больше.
Задача. Продолжите таблицу до п = 5, 6 и 7. Для п = 5 укажите циклическую структуру, соответствующую каждому разбиению.
Важной характеристикой служит число перестановок группы Sn в данном классе сопряженных элементов. Это число n(v) легко найти следующим способом. Класс перестановок с циклической структурой (v) содержит перестановки, В которых имеется V] циклов из одного символа, v2 циклов из двух символов, ..., v„ циклов из п символов. Представим себе, что структура перестановки выписана, но входящие в нее символы не указаны:
(.)•••(•) (••)(••)•••(••) и т. д.
' ¦ V-' “v-—""
V! ЦИКЛОВ v2 ЦИКЛОВ v3 циклов длины 3
длины 1 длины 2
Всего имеется п мест в различных ячейках, по которым требуется разместить п символов от 1 до п. Это можно проделать п ! способами. Однако при этом возникнут повторения. Например, если символы 1 и 2 входят в циклы, состоящие каждый из одного символа, то (1) (2) означает то же самое, что и (2) (1). Все V! циклов из одного символа можно переставлять между собой (V! ! способами), все v2 циклов из двух символов можно переставлять между собой v2! способами и т. д., вследствие чего данная перестановка будет повторена Vj ! v2! . . . v„ ! раз. Кроме того, такой цикл из двух символов, как (12), может встречаться и в виде (21), а такой цикл из трех символов, как (123), может встречаться в виде (231) или же (312) и т. д. Таким образом, каждая перестановка повторяется 1V>2V! . . . . . . nv" раз. Поэтому число различных перестановок в группе Sn, имеющих циклическую структуру (v), равно
