Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 15

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 180 >> Следующая

&в \ в. (12)(34).
е, (13) (24),
@в"\ е, (14) (23).
Каждая из них получается 8 раз:
?Ю при а = е, (12), (34), (12) (34), (13) (24), (14) (23), (1324), (1423);
Ж при а = (14), (23), (132), (124), (143), (234), (1243), (1342);
М" при а = (13), (24), (123), (142), (134), (243), (1234), (1432).
С другой стороны, подгруппа
У: е, (12) (34), (13) (24), (14) (23)
инвариантна в группе S4, поскольку содержит элементы из S4 в виде полных классов.
Задачи. 1. Не перечисляя всех подгрупп, найдите сопряженные подгруппы для S3 в группе S4; для S2 в группе S4; для циклической группы [е, (123), 132)] в группе S4.
2. Докажите, что подгруппа индекса 2 должна быть инвариантной.
3. Покажите, что все подгруппы группы кватернионов инвариантны.
В циклической группе G четвертого порядка (а, а2, а3, а4 = е) подгруппа Ц6(е, а2) инвариантна (группа G—абелева!). Факторгруппа GjeJC содержит два элемента
Е = (е, а2), А = (а, а3),
причем А2 = Е.
Ранее мы ввели понятие изоморфизма для групп, обладающих одинаковой структурой. Между элементами а группы G и элементами а' группы G' было установлено взаимно однозначное соответствие, такое, что (аЬ)' = а'ЬПод гомоморфным отображением группы G на группу G' мы понимаем аналогичное соответствие, которое сохраняет произведение, но теперь уже несколько элементов группы G могут иметь один и morn же образ в группе О'.
Пусть, например, G — циклическая группа порядка 4 и пусть группа G' состоит лишь из Единичного элемента. Мы отобразим все элементы группы G в единичный элемент группы О'. Аналогично,
§ 7. Прямые произведения
47
если G'—группа порядка 2 с элементами b и Ь2=е, мы получим гомоморфизм группы О в О', если отобразим
(а2, е) в Ь2 = е и (а, а3) в Ь.
При гомоморфном отображении группы О на группу G' образом единичного элемента е из группы О является единичный элемент е' группы О', ибо если ab — a (откуда следует, что b есть единица в группе О), то а'Ь' = а', из чего следует, что Ь' есть единица в группе G'. Если совокупность элементов а{, а2, ah группы О отображается в е', то, выбрав какой-нибудь другой элемент b в группе О, мы найдем h различных элементов Ьаъ Ьа2, bah в группе О, которые отображаются в один и тот же элемент Ь' группы О', так как фа)'= Ь'а'= Ь'е'= Ь'. Таким образом, в каждый элемент группы G' отображается одинаковое число элементов группы О. Если элемент а отображается в е', то это же справедливо и для а-1, что можно проверить, взяв образы правой и левой частей равенства аа~1 = е. Поэтому те элементы группы О, которые отображаются в е', образуют группу, на самом деле инвариантную подгруппу группы О, ибо если элемент а отображается в ето это же выполняется и для всех элементов, принадлежащих тому же классу, что и элемент а, гак как
(иаи~ 1)'= и'а' (и~1)' = и'е' {и')~1 = е'.
Обозначив эту инвариантную подгруппу символом , мы обнаружим, что любой класс смежности а&€ отображается в один элемент группы О', так как
(am)' = а’Ж = а'е' = а'.
Таким образом, мы видим, что группа G' изоморфна факторгруппе G[$6.
§ 7. Прямые произведения
Говорят, что группа О является прямым произведением своих подгрупп ?%?!, е%?2. •••> <Шп, если
1) элементы различных подгрупп коммутируют;
2) каждый элемент g группы О можно представить одним и только одним способом в виде
g= hxh2 ... hn,
где Л, принадлежит g%?,, .... a hn принадлежит Жп.
Предполагается, что ни одна из подгрупп не состоит из одного лишь единичного элемента. В сокращенных обозначениях мы записываем G в виде
(1.33)
48
Г лава 1. Элементы теории групп
Подгруппы Sf6\, .... &в„ называются прямыми сомножи-
телями группы О.
Из условий 1 И 2 следует, ЧТО общим элементом ДЛЯ подгрупп SKi является только единичный элемент. Точно так же из этих условий следует, что все ?№і являются инвариантными подгруппами в группе О. Согласно условию 2, любой элемент g группы О можно записать в виде
g = Л,Л2 ... h„,
где, согласно условию 1, все й,- коммутируют друг с другом. Предположим, что h'i принадлежит подгруппе д%?г. Тогда любой элемент, сопряженный h'i, имеет вид
gh'ig = (ЙІЙ2 . • • hn) h[ (h\h2 . ¦ ¦ hn)~l = hih'ihjx (1.34)
и также принадлежит Ш[Те сомножители в (1.34), которые принадлежат другим подгруппам, отличным от сокращаются после коммутации.] Таким образом, подгруппа Шг содержит элементы группы О в виде полных классов и поэтому инвариантна в О.
В качестве примера разложения группы на прямые сомножители рассмотрим циклическую группу О порядка 6 (а6 = е). Ее можно записать в виде прямого произведения подгрупп
А: е, а2, аА,
В: е, а3.
Имеем
0 = Л X В.
Каждый элемент группы О представим лишь одним способом в виде произведения элемента из А на элемент из В (проверка предоставляется читателю!).
В нашей книге нам также придется иметь дело с прямым произведением OXG' двух групп. Чтобы получить его, образуем все пары
(Я. а'),
где элемент а принадлежит О, а элемент а' принадлежит G'. Произведение пар определяется соотношением
(а, а')ф, b') = (ab, а'Ь'). (1.35)
Если е и е' — единичные элементы групп G и G', то пары (а, е') образуют подгруппу Г, изоморфную группе О, а пары (е, а') образуют подгруппу Г', изоморфную группе G'. Группа, состоящая из заданных выше пар, является прямым произведением Г и Г' в соответствии с определением, данным ранее. Обычно мы будем говорить просто, чго эта группа есть прямое произведение групп О и G'. Очевидно, что порядок прямого произведения двух групп равен произведению их порядков.
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed