Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
V] I • 2Vz • v2! • 3Vs • v31... nn-\n I
(1.27)
Задача. Найдите число перестановок в каждом классе сопряженных элементов группы S5.
Важно помнить, что то, что мы делали выше, применимо только к полной симметрической группе Sn. Например, в группе 54 все перестановки
(12) (34), (13) (24), (14) (23)
44
Г лава /. Элементы теории групп
принадлежат одному и тому же классу, потому что группа 54 содержит перестановку b — (23) такую, что
Ь (12) (34) Ь~1 = (13) (24).
Если же мы рассмотрим четверную группу V, то перечисленные выше перестановки уже не будут принадлежать одному и тому же классу в V, так как группа V не содержит транспозиций. В самом деле, группа V — абелева, каждый из ее элементов образует класс.
Задача. Образуя последовательные произведения перестановок (1234) (5678) и (1537) (2846),
покажите, что при этом порождается группа порядка 8. Разбейте элементы этой группы на классы сопряженных элементов. Покажите, что эта группа (группа кватернионов) изоморфна группе с элементами
1 1 *"» J. У»
р = р = k2 = — 1, i]=k, Jk=^i, ki = j.
§ 6. Инвариантные подгруппы. Фактор-группа.
Гомоморфизм
Взяв за исходную подгруппу 36 группы G, мы можем образовать множество элементов а36а~х, где а—произвольный элемент группы G. (Под а36а~1 мы подразумеваем множество элементов aha~l, где h пробегает все элементы подгруппы 36.) Эта совокупность элементов (или комплекс) в свою очередь является подгруппой группы G (проверка этого предоставляется читателю). Говорят, что эта подгруппа сопряжена подгруппе 36 в группе G. Выбирая из G различные элементы а, мы можем получать различные сопряженные подгруппы. Может случиться так, что при всех а
а36а~х = Ц6, (1.28)
т. е. все подгруппы, сопряженные 36 в группе G, совпадают с подгруппой 36. В этом случае мы скажем, что 36 — инвариантная подгруппа (самосопряженная подгруппа, нормальный делитель) в группе G. Соотношение (1.28) означает, что при заданном элементе Л, в подгруппе 36 мы можем при любом а найти некоторый элемент h2, такой, что
ahla~1 = h2, или ahx = h2a.
Последнее равенство можно записать в виде
а36 = 36а.
(1.29)
§ 6. Инвариантные подгруппы. Фактор-группа. Г омоморфизм 45
Эта запись приводит ко второму определению инвариантной подгруппы: подгруппа 36 инвариантна в группе G, если левые и правые классы смежности, образованные по любому элементу а группы G, совпадают. Пользуясь (1.29), можно сказать, что подгруппа 36, ваятая в качестве единицы, коммутирует со всеми элементами группы G. Из утверждений, следующих за равенством (1.28), мы видим также, что из (1.28) вытекает следующий результат; если hx принадлежит 36, то и все элементы ah^a-1 принадлежат 36. Иными словами, подгруппа 36 группы G инвариантна тогда и только тогда, когда она содержит элементы группы G в виде полных классов, т. е. для любого класса в группе G справедливо утверждение: подгруппа 36 содержит либо все элементы, входящие в этот класс, либо не содержит ни одного из них. Единичный элемент и вся группа G являются тривиальными инвариантными подгруппами группы G. Группа, которая не имеет инвариантных (собственных) подгрупп, называется простой. Группа называется полупростой, если ни одна из ее инвариантных подгрупп- не является абелевой. Очевидно, что все подгруппы абелевой группы инвариантны.
Инвариантные подгруппы обладают некоторыми весьма примечательными свойствами. Если подгруппа 36 инвариантна в G, то
(а36) фЗв) = а (36'Ь) 36 = а (Ъ36) 36 = аЪ(3636) = (ab) 36. (1.30)
поскольку произведение 3636 означает не что иное, как совокупность элементов, входящих в 36. Таким образом, произведение двух смежных классов инвариантной подгруппы снова является смежным классом. Точно так же заметим, что
36 (а36) = (36а) 36 = (аЗЄ) 36 = а (3636) = а36, (1.31)
поэтому умножение любого смежного класса подгруппы 36 на 36 дает в результате тот же самый смежный класс. В этом умножении смежных классов инвариантная подгруппа 36 играет роль единичного элемента. Далее, если у нас имеется некоторый смежный класс а36, то мы можем найти обратный ему смежный класс (относительно нашего нового „умножения смежных классов"), а именно смежный класс а~х36, который содержит элемент а-1:
(а~136) (а36) = а~136а36 = а~ха3636 = 36. (1.32)
Если мы будем рассматривать смежные классы подгруппы 36 в качестве элементов, а произведение определим как результат умножения таких смежных классов, то смежные классы инвариантной подгруппы образуют группу, которая называется фактор-группой и обозначается G/36. Порядок ее равен индексу подгруппы 36 в группе G.
Найдем сопряженные подгруппы для подгруппы 36 [е, (12) (34)] в группе S4. Подгруппа 36 не инвариантна, так как она не со-
46
Глава 1. Элементы теории групп
держит всех элементов третьего класса, указанного для группы S4 в § 5 настоящей главы. Когда мы образуем произведения аЗ№а~1 с элементами а из группы S4, у нас должны получиться циклические структуры, которые должны совпадать с циклическими ¦ структурами элементов подгруппы • Таким образом, сопряженными подгруппами являются подгруппы:
