Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 24

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 180 >> Следующая

класс С2 и (р—1) класс С2р, С2рк при k=\, 2..................(р—1).
Всего мы получаем р -f- 3 = (п 6)/2 класса.
Случай 3. Присоединяя, наконец, инверсию / к группе Оп, мы получаем лишь одну новую группу, а именно группу Qx. Это—группа (или J>2), состоящая из двух элементов Е и /.
Фиг. 38.
Фиг. 39.
Фиг. 40.
Фиг. 47.
Фиг. 48.
Фиг. 49.
76
Глава 2. Группы симметрии
Вывод. Присоединение к группам Qn отражений приводит к группам
Полюсные фигуры показаны на фиг. 38—49. Примером могла бы служить молекула транс-ClBrHC— CHBrCl, изображенная на фиг. 50.
Любая плоская нелинейная молекула, все атомы которой различны (например, молекула NOC1), обладает группой симметрии (?2Л. На фиг. 51 показана плоская молекула транс-С2Н2С12, обладающая группой симметрии Q2h. Примерами групп симметрии Q2v (Фиг- 52) служат молекулы Н20, S02, H2S; примерами групп QZv (фиг. 53) служат молекулы NH3, CHjCl, PCl3.
$4. $б> k< @6h’ Qlv Gzv @tv> G&V
Gzh
Фиг. 51.
H
H
I
Cl
Фиг 50.
С
О
Cl
бзи
Фиг. 52.
Фиг. 53.
Задача. Какая группа получится, если к группе бз присоединить инверсию /?
§ У. Присоединение отражений к группам ?)„
7?
§ 7. Присоединение отражений к группам Dn
Аналогичным образом мы поступим и с группами Dn. Рассмотрим присоединение к такой группе плоскости отражения. Если мы включаем в группу 0Л, то произведение 0А и поворота вокруг любой оси 2-го порядка дает отражение в вертикальной плоскости, проходящей через эгу ось. Таким образом, добавление одной горизонтальной плоскости симметрии порождает п вертикальных плоскостей отражения с п соответствующими операциями av. Новая группа Dnh содержит 4п элементов: 2п чистых вращений, принадлежащих группе Dn, п отражений av в п вертикальных плоскостях и п зеркальных поворотов С*0Л. Заметим, что операции 0Л коммутируют со всеми элементами группы. Поэтому (см. § 7 гл. 1) мы можем записать группу Dnh в виде прямого произведения групп Dn и Qs\
Dnh = Dn X Gs.
[Если п четно (п=2р), то эта группа содержит инверсию, и мы можем записать также, что D2p> Л= D2p X (?,¦•] Число классов в группе DлЛ ровно вдвое больше числа классов в группе Dn: сначала мы получаем все классы группы Dn, а затем те классы, которые возникают при умножении каждого элемента на 0Л, Так же как при рассмотрении группы Dn мы находим, что если п нечетно, все отражения принадлежат одному и тому же классу, если же п четно, они образуют два класса. Зеркальные повороты С*0Л и C~kah распадаются на классы парами. Новыми являются группы
^*2/1. D3h, DAh, D6/[.
Полюсные фигуры представлены на фиг. 54—57.
Показанная на фиг. 58 плоская молекула N204 обладает группой симметрии D2i,, форма молекулы С2Н6, у которой атомы водорода находятся „в противостоянии" и которая представлена на фиг. 59, принадлежит группе D3h, молекула бензола С6Н6 обладает симметрией D6ft и показана на фиг. 60.
Плоскость отражения можно присоединить к группе D„ еще и другим способом: мы можем добавить вертикальную плоскость отражения, которая делит пополам угол между двумя соседними осями 2-го порядка. Коль скоро мы добавили одну вертикальную плоскость, вращения вокруг осей 2-го порядка тотчас же порождают совокупность из п вертикальных плоскостей отражения. Полученная при этом группа является группой Dnd (d означает диагональ) и содержит 4п элементов. Из этих 4п элементов 2п являются чистыми вращениями, принадлежащими группе Dn. Кроме того, мы получаем п зеркальных отражений аа в п вертикальных плоскостях. Остальные п элементов представляют собой зеркальные повороты вида S2*+I вокруг главных
п
Глава 2. Группы симметрии
D4h Фиг. 56.
D Sh Фиг. 57.
осей, где & = 0, 1, 2, ..., (п — 1). Простейший способ доказательства этого утверждения состоит в рассмотрении полюсных фигур (фиг. 61 и 62). Итак, главная ось является не просто осью вращения п-го порядка, а зеркально-поворотной осью 2я-го порядка. В результате рассматриваемые нами группы можно построить лишь при п = 2 или 3. (При п > 3 порядок зеркально-поворотной оси был бы больше 6, а этот случай был отброшен нами .еще ранее). Двумя вновь полученными группами являются группы Did и D3d (фиг. 61 и 62).
Задача. Покажите, взяв произведение ad и поворотов, что главная ось группы есть зеркально-поворотная ось 2п-го порядка.
Все оси 2-го порядка эквивалентны, поскольку каждую такую ось можно совместить с соседней ей осью с помощью отражения в плоскости, проходящей посередине между ними. Точно так же эквивалентны все плоскости отражения. (Примените к ним вращения вокруг осей 2-го порядка.)
Dsn
Фиг. 59.
D6h
Фиг. 60.
Фиг. 61. Фиг. 62.
80
Глава 2. Группы симметрии
Наконец., зеркальные повороты S2n+I и 52Л<2*+1> сопряжены, так как tfrfS2лН 1 = GdGhPlkn+lOd = + I> = ?>2~л<2* + 1).
Таким образом, в общем случае при четном п(п = 2р) группа D2p>d имеет /г —3 = 2/? —|— 3 класса: Е; вращение С%Р = С2 вокруг главной
оси; {р — 1) класс, состоящий из пар С2р, С2р при й=1, 2...............
р — 1; класс, состоящий из 2р вращений вокруг горизонтальных осей 2-го порядка; класс, состоящий из 2р отражений ad\ р классов, состоящих из пар зеркальных поворотов S2*"1"1, S2„2k+l^ при k = 0, 1, 2,..., р— 1. При нечетном п (п = 2 р Г) группа Dnd содержит инверсию I, и поэтому мы можем записать ее в виде прямого произведения
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed