Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Группы чистых поворотов. Правильные многогранники 69
равно (п— 1), причем одна из них проходит через точку А и показана на фиг. 32. Сферический угол ф между дугами Р0РХ и Р0А равен 2л/га, а Р0Р1= Р0А. Совершив поворот на угол ф вокруг оси А, мы получим из Р0 другую ось га-го порядка, проходящую через В4 Все точки Рг, Р0, А, В и т. д., получающиеся при этой процедуре, лежат в одной плоскости, и поэтому фигура должна замкнуться снова в точке Рх. (В противном случае мы получили бы ось га-го порядка, расположенную ближе к оси Рг, чем ось Р0.) Теперь, вращая вокруг оси Р0, получим новую ось из оси Рх и будем продолжать так, пока не получим второй правильный сферический многоугольник. С помощью этого процесса мы покроем всю поверхность единичной сферы одинаковыми правильными сферическими многоугольниками. Таким образом мы получим правильный сферический многогранник с F гранями, V вершинами и Е ребрами. Каждая грань такого многогранника представляет собой правильный сферический многоугольник с s сторонами. Число ребер, сходящихся в одной вершине, равно га. Так как каждое ребро имеет по одной вершине на каждом из двух своих концов, число ребер E=nV/2. Так как каждое ребро принадлежит двум граням, имеем соотношение E=Fs/2. Объединяя эти результаты, получаем Fs = nV. Площадь многоугольника с s сторонами на единичной сфере равна сумме углов многоугольника минус (s — 2) л. Для нашего правильного многоугольника площадь равна $(2л/га)— (s — 2) л. Умножив эту величину на число граней F, мы получаем полную поверхность единичной сферы, равную 4л. Таким образом,
^ (^") —— 2}я] = 4я.
ИЛИ
?L-K- + F = 2. (2.11)
Воспользовавшись полученными ранее соотношениями, мы можем переписать (2.11) в виде
V —F=2. (2.12)
Это и есть теорема Эйлера, которая в форме (2.12) пригодна для любой сети на поверхности сферы. Перепишем (2.11) в виде
2L-(s-2) = ±. (2.13)
Мы видим, что величина 2s/n должна быть 'больше s —2 и поэтому
(так как га > 2) допустимые значения s ограниченны.
При п = 3, s < 6: s = 3 дает F = 4; s = 4 дает /?= 6; s = 5
требует, чтобы F= 12.
При га= 4, $<4:s = 3 приводит к F=-8.
70
Глава 2. Группы симметрии
При га= 5 возможно лишь s = 3 и Z7— 20. При л>6 решений не существует.
Мы получаем следующие возможные случаи:
п S F
3 3 4 тетраэдр,
3 4 6 куб,
4 3 8 октаэдр,
3 5 12 додекаэдр,
5 3 20 икосаэдр.
Первые два многогранника имеют одинаковые элементы симметрии: четыре оси 3-го порядка, которые соединяют вершины 1, 2, 3 и 4 тетраэдра с противоположными гранями так, как это показано для вершины 1 на фиг. 33. Начав с полюса на одной из граней
7
Фиг. 33.
кристалла, мы обнаружим, что повороты вокруг этих осей порождают семейство из 12 полюсов, так что число элементов в этой группе равно 12. Повороты вокруг любой из этих осей переводят три остальные оси друг в друга, откуда следует, что все четыре оси эквивалентны. Оси односторонние, в силу чего мы получаем два класса по четыре элемента в каждом: Сз(4); Сз(4). Если мы совершим поворот вокруг оси 1 так, что 2-^-3, 3->4, 4—>2, а затем произведем поворот вокруг оси 2, который приведет к отображению 3—^4, 4—>1, 1—^3, то произведение этих поворотов будет осуществлять отображение 2—>4, 4—>2, 3—>1, 1->3 и поэтому будет представлять собой поворот на угол л вокруг прямой, соединяющей середины противоположных ребер 24 и 13. Таким способом мы найдем три оси 2-го порядка, эквивалентные друг другу. Эти оси 2-го порядка образуют класс, состоящий из 3 эле*
§ 5. Группы чистых поворотов. Правильные многогранники
71
ментов. Итак, группа Т тетраэдра имеет 12 элементов, принадлежащих 4 классам:
Т:Е; С2(3); С3(4); СІ(4),
где число в скобках означает число сопряженных элементов в классе. Другой способ изображения этих осей показан на фиг. 34.
Заметим также, что группу Т можно получить из группы V, присоединяя к последней ось 3-го порядка, расположенную симметрично относительно трех осей 2-го порядка группы V. По этой причине для обозначения группы Т иногда пользуются символом Сх~Су
Фиг. 34. Фиг. 35.
Рассмотрим далее октаэдр. На этот раз мы начинаем с 3 взаимно перпендикулярных осей 4-го порядка. Взяв произведения поворотов вокруг этих осей, получим полную вращательную симметрию куба, как показано на фиг. 35. Всего имеется 4 оси 3-го порядка (пространственные диагонали), 3 оси 4-го порядка (соединяющие середины противоположных граней) и 6 осей 2-го порядка (соединяющих середины противоположных ребер).
Применив повороты 3-го и 4-го порядков к любой из осей
2-го порядка, мы можем получить все оси 2-го порядка. Поэтому все 6 осей 2-го порядка принадлежат одному и тому же классу. Легко видеть, что все оси двусторонние, кроме того, все оси
3-го порядка эквивалентны друг другу и оси 4-го порядка также эквивалентны друг другу. Итак, группа О имеет 24 элемента, распределенных по 5 классам:
О: Е\ С2(6); С3, СІ (8); С4, Cf(6); С24(3).
Группа икосаэдра К, которая получается согласно составленной нами таблице возможных случаев и при максимальном п и при макси-маїьном числе граней F, на представляет интереса с точки зрения
