Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 23

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 180 >> Следующая

72
Глава 2. Группы симметрии
физики, поскольку у кристаллов не встречается осей 5-го порядка и не известны примеры молекул, обладающих такой симметрией. Группа К есть группа, состоящая из 60 поворотов вокруг осей симметрии икосаэдра, у которого имеется 6 осей 5-го порядка, 10 осей
3-го порядка и 15 осей 2-го порядка.
Подводя итоги, можно сказать, что, присоединяя оси высших порядков, мы получаем три новые группы поворотов:
III. т, О, К.
Полюсные фигуры для групп Г и О представлены на фиг. 36 и 37. По поводу всех этих полюсных фигур мы должны заметить,
что одного набора эквивалентных полюсов может оказаться недостаточно для того, чтобы замкнуть многогранник или однозначно фиксировать тип симметрии. В таких случаях следует вводить дополнительно второй набор эквивалентных полюсов.
Задачи. 1. Покажите, что все элементы группы О порождаются поворотами вокруг осей 4-го порядка.
2. Перечислите все подгруппы группы О. Какие из них инвариантны?
§ 6. Группы симметрии, содержащие зеркальные повороты.
Присоединение отражений к группе Q„
Теперь, когда мы располагаем всеми возможными группами симметрии, содержащими только повороты, мы должны добавить к ним элементы второго типа, т. е. зеркальные повороты. Пусть 5 — зеркальный поворот, входящий в число элементов группы. Произведение 5 на любой поворот есть снова зеркальный поворот. Произведение двух зеркальных поворотов есть поворот. Заметим прежде всего, что чистые повороты образуют подгруппу Ш группы G.
В
т
Фиг. 36.
п
Фиг. 37.
§ 6. Группы симметрии, содержащие зеркальные повороты
73
Кроме того, эта подгруппа должна иметь индекс 2 и поэтому является инвариантной подгруппой. Иными словами, мы утверждаем, что каждый зеркальный поворот Sh принадлежащий рассматриваемой группе, содержится в смежном классе Se%?, образованном с помощью любого из зеркальных поворотов. В самом деле,
St = (SS-l)Sl = S(S~lSt),
и 5-15г, будучи произведением двух зеркальных поворотов, есть поворот и в силу этого принадлежит Ш¦ Порядок фактор-группы G/J^ всегда равен 2.
Затем іМьі поступим следующим образом. Выберем в качестве подгруппы ?№ любую из групп чистых поворотов. Вводя зеркальный поворот S, мы не допускаем возникновения новых поворотов (поскольку в силу приведенных выше рассуждений они уже должны содержаться в ?№). Какие возможности имеются у нас для выбора S? Одна возможность состоит в том, что S2 = E, отсюда получим два решения: S = a, S = f. Таким образом, мы можем добавить либо отражение, либо инверсию. Если же S2 Ф Е, то преобразование S2 должно быть одним из элементов подгруппы <3$, отличных от единичного. Ось зеркального поворота должна быть одной из осей поворотов, принадлежащих группе Цв. Если элементом является Сп, то единственный остающийся выбор состоит в том, чтобы S2 = Cn, так как если мы возьмем
S2=ClP,
то
присоединяя к группе
мы получили бы Если бы мы выбрали
S2Cfp = E, {SCnPf = E\
вместо 5 преобразование S' = SCnP,
(S')2 = Е.
--с\р
+1
то вместо 5 могли бы ввести дополнительно в преобразование
s'=sc-p
(S')2 = Cn.
и получить
Итак, мы имеем три возможности для введения зеркального поворота: 0, / и S, причем S2 = С п.
74
Глава 2. Группы симметрии
Присоединение отражений к группе Qn
Случай 1. Присоединяем элемент 52 = СЯ.
При п— 1 S2 = E, и мы имеем случаи 2 и 3.
При п = 2 S2 — C2, S = S4. Мы получаем абелеву группу §4, содержащую 4 элемента, принадлежащих 4 классам.
При п = 3 S2 — C3, S — S6. Мы снова получаем абелеву группу §6 из 6 элементов, образующих 6 классов.
При п 4 мы получили бы зеркально-поворотную ось, порядок которой больше 6, что было исключено заранее.
Случай 2. Присоединяем 0. Если мы не намереваемся вводить новые повороты, то плоскость отражения должна быть либо перпендикулярна главной оси, либо же проходить через нее.
а. Если к группе Qn мы присоединим 0Л, то получающаяся при этом группа называется группой Gnh. Все такие группы абелевы и содержат 2п элементов в 2п классах. Если п четно, группа содержит преобразование
К" ¦”,)=сл=/.
вследствие чего тело, группу преобразований которого мы рассматриваем, обладает центром симметрии. При 1 группа Qlh со-
держит два элемента Е и 0; эту группу обычно обозначают символом Qs. При таком подходе мы получаем новые группы
ЄҐЬ (Ь (Ь ҐЬ У2Л> '-'3/г* ^4 Л» иб Л*
б. Если к группе Qn мы присоединим ov, то, комбинируя <JV с поворотами вокруг вертикальной оси, мы получили бы систему из п вертикальных плоскостей. Исключая из рассмотрения случай л=1, который приводит к группе Qs, мы получаем новые группы, которые обозначим
еъ, e3v, Giv, e6v.
Группа Qnv содержит 2п элементов. Как было показано ранее, наличие преобразования av делает оси поворотов двусторонними. Если же п нечетно (п=2р -\- \), то все плоскости эквивалентны и все отражения попадают в один класс. В то же время повороты вокруг двусторонних главных осей приводят к (/?-)- О классу: Е; с!р+и С2р+1 при k—\, 2, ..., р. Всего мы получаем р-\~ 2 = = (га-|-3)/2 классов. Если п четно (п-~=2р), то отражения образуют два класса по р элементов в каждом. Повороты дают класс Е,
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed