Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
СО
х = 2 хЛт• (3-6)
г* О
§ 2. Линейная зависимость; размерность
93
Можно также рассматривать пространства, в которых векторами являются функции вещественной (или комплексной) переменной Z. Например, можно взять пространство всех функций вида
X = Л*! —(— X2eZ, (3.7)
либо пространство всех функций вида
х = х1 cos z-\- лг2 sin г, (3.8)
либо же пространство
\ = xJl{z)-\-x2f2{z), (3.9)
где fi и /2 — заранее заданные функции от z. В качестве общего случая можно рассмотреть пространство функций
П
х= 2 *гЛ(2). (зло)
г-1
где /;, /2, •••, fn(z) — заданные функции от z. В соотношении (3.10) п можно снова устремить к бесконечности.
Обобщение можно продолжить и рассмотреть пространство всех функций / (z) вещественной (или комплексной) переменной z, определенных в некоторой области значений переменной z и удовлетворяющих некоторым условиям непрерывности, интегрируемости и т. д. Например, можно рассмотреть пространство всех непрерывных функций вещественного переменного z в интервале от 0 до 1 или пространство всех функций с интегрируемым квадратом, т. е. функций
/ (z), для которых
+ СО
/ If(z)\2dz
— со
сходится.
Задача. Покажите, что функции с интегрируемым квадратом образуют линейное векторное пространство.
§ 2. Линейная зависимость; размерность
Линейная комбинация векторов xIf х2. •••, хя — это вектор х вида
х = а1х1+ . . . +а„хя, (3.11)
где а1( ..., а„ — комплексные числа.
Говорят, что векторы Х[, х2, •••, х„ линейно зависимы, если нулевой вектор можно представить в виде линейной комбинации
94
Глава 3. Представления групп
хх...... х„ (тривиальный случай а!=а2 = ... = а,, = 0 исклю-
чается)
a^ + ctsXjj-f ... + a„x„ = 0. (3.12)
Если уравнение (3.12) не имеет нетривиальных решений, мы говорим, что векторы Xi, х2, •••, х„ линейно независимы.
Теперь мы хотим построить системы линейно независимых векторов в нашем пространстве. Прежде всего мы попытаемся сделать это с помощью одного вектора х. Если
ах = 0, а ф О
для всех векторов пространства, то х = 0, и мы получаем нулевое пространство, состоящее из одного только нулевого вектора. Если же пространство содержит вектор Xj ф 0, мы пытаемся найти второй вектор х2 такой, что
aiX[ -(- a2x2 = О
только в том случае, если
dj = a2 = 0.
Продолжая эту процедуру, мы приходим к определению размерности пространства Ln. В п-мерном векторном пространстве Ln можно найти п векторов Uj, u2, ..., ил, которые будут линейно независимы, в то время как п-j- 1 вектор в этом же пространстве всегда линейно зависим.
На плоскости два коллинеарных вектора линейно зависимы. Если же два вектора неколлинеарны, они линейно независимы. Но любые три вектора на плоскости линейно зависимы, поэтому плоскость является двумерным векторным пространством.
Пространство всех матриц л X п имеет размерность п2. Чтобы показать это, рассмотрим матрицу все элементы которой равны
нулю, за исключением элемента (jk). Этот элемент положим равным произвольному, отличному от нуля, числу а^к). Заставляя j и k пробегать значения от 1 до п, мы получаем набор, состоящий из п2 линейно независимых матриц. В то же время набор, состоящий из любого большего числа матриц, будет линейно зависимым.
Пространство многочленов, задаваемых соотношением (3.4), двумерно; например, многочлены 1 и ? линейно независимы, всякие же три многочлена линейно зависимы. (Мы всегда можем найти нетривиальное решение уравнения ах -(- by -(- уг = 0, так как его можно представить в виде двух уравнений:
а-»о + РУо+Т^о = °. а^ + РУі + Y^^O
относительно трех неизвестных а, |}, у.) Аналогично, пространство, определяемое соотношением (3.5), (л+ 1)-мерно.
§ 3. Базисные векторы
95
Векторное пространство, задаваемое формулой (3.6), бесконечномерно, так как бесконечный набор многочленов 1, ?2, ... линейно
независим.
Задачи. 1. Чему равна размерность векторных пространств, задаваемых формулами (3.7)—(3.10)?
2. Рассмотрите вопрос о размерности пространства функций с интегрируемым квадратом.
§ 3. Базисные векторы (оси координат); координаты
Говорят, что любые п линейно независимых векторов Uj, . . ., u„ в л-мерном пространстве Ln образуют систему базисных векторов, или базис (систему координат), в Ln.
Если векторы Ui, •••• u/j образуют базис в Ln, то можно доказать, что всякий вектор х, принадлежащий Ln, можно представить в виде линейной комбинации векторов и,.
Уравнение
px + a^ + azv-l- ... +a„u„ = 0
должно иметь нетривиальное решение (л+1 вектор в л-мерном пространстве!). В этом уравнении |} Ф 0, так как если бы (5 — 0, мы получили бы нетривиальное решение уравнения
aiui+ ••• +a/ju/j —о.
вопреки предположению о том, что векторы U; образуют базис. Так как р ф 0, наше уравнение можно разрешить относительно х
х = — у(а1и1+ ... +али„) = л:1и1+ ... + хпап == хсщ. (3.13)
Таким образом, произвольный вектор х можно записать в виде линейной комбинации базисных векторов и,. Коэффициенты xt в линейной комбинации (3.13) называются координатами вектора х относительно базиса (или системы координат) Up ..., u„.
Матрицы е<'*\ описанные выше, образуют базис в пространстве матриц л X п. Матрица х с элементами хjh выражается через эти базисные векторы в виде
