booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 40

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdfПредыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 180 >> Следующая
2 D (RS) XD ({/?5]_I) = 2 D (5) XD (5-1) (3.130)
S S
и
D(R)A = AD(R). (3.131)
Но тогда, по лемме, А = К ¦ 1. Значение постоянной X будет зави-
сеть от нашего выбора произвольной матрицы X. Выберем матрицу X так, чтобы все ее элементы были равны нулю, за исключением Xlm = 1. Константу X обозначим Xlm. Тогда из (3.128) получим
(3.132)
или, если представление D унитарно,
IlDll(S)D)m(S) = hm(>ir (3.133)
Чтобы вычислить klm, положим i = j и просуммируем по I:
128
Глава 3. Представления групп
Таким образом,
Кт = ^Ш (3.135)
и
(3.136)
S
или, если D унитарно,
2 Du (5)D)Ш (5) = -f Ьт f>u- (3 •137>
s
Теперь мы аналогичным образом построим матрицу А, удовлетворяющую условиям леммы I. Если заданы любые два неэквивалентные неприводимые представления D(I) и D(2) группы G (размерности которых равны и п?, то положим
A ='2iD{2) (S)XD0)(S-1), (3.138)
s
где X—произвольная матрица. Тогда
D(2> (ЯМ = 2 d<2> (R)D{2) (S)XDw(S~l) = = 2 D(2) (R)D{2) (S) XDW (5_I) D(I> (R_I) • D(I> (R) = s = 2 D{2) (RS)XDa){[RS}-1). Dm (R) = ADm (R). (3.139) s
Итак, в силу леммы I, А — 0. Выбирая X так же, как и раньше, находим
2M2/(«S)D(my(S-I) = 0 для всех I’ т< (3.140)
s
или, если D(I> и D(2> унитарны,
IiDfUS)D%(S) = 0. (3.141)
s
Равенства (3.136) и (3.140) [или (3.137) и (3.141)] означают следующее. Если мы рассматриваем все неэквивалентные неприводимые представления группы G, то величины D(/y (R) при фиксированных ц, I, j образуют вектор в ^-мерном пространстве такой, что
У Df(R) D^j (R~l)= (3.142)
r 4
или, если представление унитарно,
У D(fi (R) D{Jm (R)=j-b^bt}blm. (3.143)
r 4
§ 15. Соотношения ортогональности
129
Итак, каждое неприводимое представление Dдает нам векторов (R) (і, j= 1, .... Пц), ортогональных друг к другу и к векторам Du,l(R), построенным для всех неэквивалентных представлений. Поскольку число взаимно ортогональных векторов в ^-мерном пространстве не может превышать g, мы получаем результат, состоящий в том, что
2 «![<*¦ (3.144)
и
Иначе говоря, число неэквивалентных неприводимых представлений конечной группы конечно. Пока у нас нет гарантии того, что полученные таким образом взаимно ортогональные век юры заполняют все g'-мерное пространство, но позднее мы докажем, что дело обстоит именно так, т. е. в (3 144) стоит знак равенства.
Исходя из (3.142) или (3.143), мы можем вывести аналогичные соотношения ортогональности и для характеров. Если в (3.142) положить i = l и j=m, то получим
V Df (R) D(fj(R-1) = -f - -f ew6,j. (3.145)
Па n и
R
Просуммируем теперь по всем I и j:
2xw(^)x(v)(^_I) = ^^v. (3-146)
R
или
2 tf»4R)rtv>*(R) = gbm. (3.H7)
R
если представления унитарны. С этого момента и далее мы ограничимся рассмотрением унитарных представлений.
Здесь следует быть осторожным. Вспомним, ЧТО все Э1ементы, принадлежащие заданному классу сопряженных элементов в О, имеют один и тот же характер. Пусть Кх, ..., Kk — k классов группы G, и пусть число элементов в классе Kt равно gt. Тогда для всех элементов класса Kt характер в [х-представлении будет один и тот же:
хси> (R) =
Таким образом, равенство (3.147) принимает вид
2 XfW •gi=g (3-148)
При заданном [х числа xfg'l2 образуют вектор в fe-мерном пространстве (где k — число классов в G). Векторы, построенные указанным способом из неэквивалентных неприводимых представлений, ортого-
130
Глава 3. Представления групп
нальны (и ни один из этих векторов не равен нулю). Поэтому число неэквивалентных неприводимых представлений группы должно быть меньше или равно числу классов сопряженных элементов в группе. Позднее мы докажем, что и здесь имеет место равенство.
Задача. Покажите, что элементы, обратные элементам, входящим в класс /Сг, образуют класс К[. Для произвольных неприводимых представлений выведите уравнение
2 = <§Av- (3.148а)
§ 16. Критерии неприводимости. Разложение представлений
Характеры неприводимых представлений обычно называются примитивными характерами или простыми характерами. Рассмотрим теперь произвольное представление D. Согласно (3.118), D можно выразить через неприводимые представления в виде
Д(Я)=2ЯДМ(Д).
v
где av — целые числа ^ 0. Вычислим след от правой и левой частей этого равенства для элемента R, принадлежащего классу Kt группы G:
Xi = 2«vX(,v)- (3.149)
V
Характер Хг приводимого представления D называется составным характером. Из (3.149) мы видим, что составной характер является линейной комбинацией простых характеров с положительными целочисленными коэффициентами. Умножив (3.149) на и просум-
мировав по I, получим
2 = 2 av 2 giXn? = 2 %g = ga ,
і v t v
ИЛИ
(3150)
Таким образом, чтобы найти, сколько раз данное неприводимое представление входит в D, мы пользуемся соотношением (3.150). Заметим, чтэ если два представления имеют одинаковые совокупности характеров, они эквивалентны, так как, согласно (3.150), коэффициенты^ одинаковы для обоих представлений.
§ 16. Критерии неприводимости
13І
Если равенство (3 149) умножить на комплексно сопряженное равенство, взятое с коэффициентом gh и просуммировать по /, то получим
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 180 >> Следующая