Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
тельства.
Исходя из группы О, мы можем построить систему, называемую алгеброй. Величины, входящие в алгебру, имеют вид
2aRR, (3.162)
R
где коэффициенты aR — любые комплексные числа. Под суммой двух таких величин мы понимаем
2 “Ь 2 = 2 (aR “Ь &r) (3.163)
R R R
а под их произведением подразумеваем
2 aRR • 2 bsS = 2 aRbsRS = 2 (2 ЯдА-і'і R- (3.164)
R S R, S R \ S J
Например, в группе Ot с элементами Е и / мы вводим алгебру величии
U^E -J— (І2І.
§ 17. Общие теоремы; групповая алгебра
135
Тогда
(2 Е + 4/) + (Е — 6/) = (З Е — 21),
(2Е + 4/) (? — 6/) = 2?2 — 12?/ + 4/? — 24/2 =
= 2Е - 1214- 4/ — 24? = — 22Е~- 81.
Пусть Л</>.....A(g] — элементы в классе группы О. Построим
величину
еЯГ| = 2 4(3.165) / = і
Если перемножить величины относящиеся к двум различным классам
Sl gj
2 4V,'>, (3.166)
J 1=1 m -1
то сумма в правой части вновь будет состоять из полных классов, так как, трансформируя <2/Г;&Ж j с помощью любого элемента группы, мы лишь изменяем порядок слагаемых. Поэтому
^^, = 2^.^, (3.167)
где с1]1 — целые положительные числа. Рассмотрим какое-нибудь неприводимое представление группы G. Если взять сумму всех матриц, соответствующих элементам /-го класса, то получится матрица, которую мы обозначим Dl% Эта матрица коммутирует со всеми матрицами выбранного представления, taK как
2 D(R), (3.168)
RC.Kl
трансформация матрицы Dt изменяет только порядок слагаемых в этой сумме. Но это и означает, что Dt коммутирует со всеми матрицами представления и, согласно лемме II,
Dt = Xt. 1.
Переходя в этом равенстве к характерам, получаем
gih = V = ^Xi* (3.169)
где п—размерность неприводимого представления. Итак,
(3.170)
JCi
136
Глава 3. Представления групп
Перейдем теперь к матрицам в равенстве (3.167):
DtDj^CijiDt. (3.171)
/
ИЛИ
%i%]-='2iCijl%l. (3.172)
Пользуясь (3.170), получаем
? ?>j%i і ~%i %Г ~~ ~°iil "хГ” ’
или
gigjXilj = Xj S Ctflgfa. (3.173)
Все характеры относятся к данному неприводимому представлению. Что же касается коэффициентов g и Сщ, то они являются свойствами группы и не зависят от представления. Равенство (3.173) полезно при проверке вычислений характеров.
Если два элемента группы G сопряжены друг с другом, то обратные им элементы также сопряжены друг с другом. Например, если задан класс Kt, то существует другой класс Кг, состоящий из элементов, обратных элементам класса Kj. Заметим, что Kt и Кг имеют одинаковое число элементов: gi=gi,¦ Если взять произведение
этих двух классов Kt и Кг (где Кг состоит из элементов, обратных элементам К[), то мы получим единичный элемент Е ровно
gi раз. При j ф I' произведение КЬКу не содержит единичного эле-
мента группы, т. е.
0 при j ф
gi при j = l'.
ст=\ „ „„„ (3.174)
Перепишем теперь (3.173). Чтобы указывать на некоторое конкретное представление, введем верхний индекс:
gigjtplf = 2 с і jig itiv,$v).
Просуммируем это выражение по всем v от 1 до г:
gigj 2 Xflf = 2 ctJlgt 2 xW =
v=l I ' V-I
= 2 ciflgtgbn = [здесь мы воспользовались соотноше-
1 ниєм (3.161)]
“ ci]\g\g — cij\g- (3.175)
§17. Общие теоремы; групповая алгебра
137
Тогда из (3.174) получим
О при j ф Ґ,
ИЛИ
ад, 2 й'*/'при , = і.,
г
(3.176)
(3.177)
V-1
Для унитарного представления = х*, так что (3.177) можно записать в виде
?xW=f- ь’і-
V=I 1
(3.178)
Равенство (3.178) показывает, что k л-мерных ненулевых векторов X^v) взаимно ортогональны, вследствие чего k<^r, и мы завершили доказательство нашей теоремы:
Число неэквивалентных неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных элементов в этой группе.
Наши результаты можно резюмировать следующим образом. Выпишем таблицу характеров (табл. 3). Тогда из равенства (3.148) и (3.178) (для унитарных представлений) будет следовать, что скалярное произведение любых двух строк или любых двух столбцов (взятых с весами gt) равно нулю. Кроме того, из (3.173) вытекает, что произведение любых двух чисел, стоящих в одной строке, выражается в виде линейной комбинации элементов той же строки, причем коэффициенты от строки не зависят.
Таблица 3
*1 к2 . . Ki . Kk
DU) Y(l) Xi Y(l) Х2 • х(/’ • Yd) Xft
d{2) y(2) X] ... .
?)(Ц) хГ ... . Y0l) • hi уШ)
?)(*) x[k) у ft) І2 „(*) • ll yW • ч
138
Глава 3. Представления групп
§ 18. Разложение функций по базисным функциям неприводимых представлений
Как уже указывалось раньше в этой главе, мы можем получить некоторое представление группы G, исходя из любой функции ф и применяя к ф все преобразования группы G. В этом случае ф сама будет одной из базисных функций или будет линейно выражаться через базисные функции. Это утверждение остается справедливым, если разложить полученное представление на неприводимые компоненты. Поэтому мы приходим к выводу, что любая функция ф представима в виде суммы функций, которые могут служить базисными функциями в различных неприводимых представлениях:
(Заметим, что функцией ф наиболее общего вида будет такая функция, для которой получающиеся функции 0Лф линейно независимы. В этом случае мы получаем регулярное представление, которое мы рассматривали ранее.)
