Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 41

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 180 >> Следующая

2 x,xfo = 2 а а 2 ‘ = 2 %avg6
I Ц, V I |Л, V
2хіх1«гі = «г2вц. (зі5і)
І ц
В частности, если представление неприводимо, то все коэффициенты равны нулю, за исключением одного, который равен единице; поэтому, если исходное представление неприводимо, его характеры должны удовлетворять соотношению
2 g, IX, I2 = е. (3 152)
і
что дает нам очень простой критерий неприводимости.
Крайне полезными средствами при решении вопроса о неприводимости представления служит равенство (3 151) и его частный случай— равенство (3 152). Если каким-либо образом найдено некоторое представление группы G, мы вычисляем составной характер и величину
і2=Е<
I и
Если эта величина равна единице, то представление неприводимо Предположим, что
2«? = 2.
и
Поскольку — целые числа, единственно возможное решение состоит в том, чтобы ар = аа= 1 для двух различных неприводимых представлений D(p) и D(0\ Аналогично, если
2вц = 3,
и
то представление D есть сумма трех различных неприводимых представлений, каждое из которых встречается ровно один раз На языке теории характеров мы сказали бы, что составной характер ц есть сумма простых характеров:
Х, = ХТ) + ХТ) + ІЇ). РФОФХ (3.153)
с коэффициентами, равными единице. Если
132
Глава 3. Представления групп
то либо
x, = xf-f Х(,0) + Х,г) + Х(Л рфафхфу., (3.154)
либо
X, = 2х1р)-
(3.154а)
Очень полезно также следующее обобщение этих результатов. Если нам задано два представления D и Д группы G с составными характерами х1 и ф; соответственно, то мы можем прежде всего попытаться применить к каждому характеру в отдельности соотношение (3.151), чтобы выяснить, сколько различных простых характеров он содержит. Затем мы могли бы попытаться узнать, имеют ли Xi и Ф; какие-либо общие простые характеры. Мы отправляемся от равенств, подобных равенству (3.149):
где av, b^—целые положительные числа. Умножим на tfgjg и просуммируем по /:
равна нулю, то рассматриваемые два представления не имеют общих неприводимых компонент. Если
то они имеют ровно одну общую неприводимую компоненту и в каждое представление эта компонента входит только один раз. При
число возможных случаев быстро возрастает, но получить полезную информацию все еще представляется возможным.
Задача. Выведите для произвольных представлений соотношения:
I n,v і Ц, V V
[здесь мы воспользовались равенством (3.148)]. Если сумма 2 аА
2 «А > 1
(3.150а)
I
2^ддг = ^2ац>
(3.151а)
і и
g ЗС;Ф/'
I v
(3.155а)
§ 17. Общие теоремы; групповая алгебра
133
§ 17. Общие теоремы; групповая алгебра
Теперь мы можем вернуться назад и завершить доказательства наших теорем. Прежде всего покажем, что в (3.144) стоит знак равенства. Чтобы проделать это, рассмотрим одно специальное представление группы G—регулярное представление, которым мы воспользовались в гл. 1 при обсуждении теоремы Кэли. Если элементы группы мы обозначим ..., Sg, то умножение их слева на некоторый элемент Sv приводит к перестановке элементов 5j...............Sg.
Рассматривая Sx........Sg как координаты в ^-мерном пространстве,
мы можем представить элемент Sv с помощью некоторой перестановки g координат. Так, если SvSt = Sj. (I = 1...........g), то
В этом (регулярном) представлении диагональные элементы всех матриц равны нулю, за исключением элемента Sv, такого, что
т. е. за исключением единичного элемента Е. Таким образом, в случае регулярного представления
Выражая регулярное представление через неэквивалентные неприводимые представления, получаем
Рассмотрим класс, содержащий единичный элемент. Для этого класса у. = Xi — g’ в 70 время как в v-м неприводимом представлении %(v)=nv. Таким образом,
Коэффициенты av задаются равенством (3.150), в котором вклад в сумму дает только член с / = 1:
Равенство (3.158) означает, что число, показывающее, сколько раз каждое неприводимое представление содержится в регулярном представлении, равно размерности представления. Подставляя в (3.157), получаем
Du (Sv) = f>ijt-
при R ф Е, при R=E.
(3.156)
(3.149)
V
(3.157)
V
(3.159)
134
Глава 3. Представления групп
что и доказывает нашу теорему. Подставляя (3.158) в (3.149), мы находим
х, = 2 «vxiv) = 2 х(г>х(Л (3.160)
v v
Если 1—\ (класс, содержащий Е), то %i = g. Во всех же остальных классах Xi — 0. откуда
(0 при і ф 1,
2W=(* „р, <ЗЛ6‘)
Заметим, что процедура, которой мы сейчас пользуемся, является дополнением к тому, что мы делали ранее при доказательстве соотношения ортогональности [равенство (3.148)]. Тогда при фиксированном v величины g'fyp образовывали вектор в /г-мерном пространстве (/г равно числу классов). При различных v(v= 1..........г) векторы
были ортогональны, вследствие чего r<^k. Теперь же равенство (3.161) наводит на мысль о том, что при фиксированном і мы можем построить векторы X;v) в /"-мерном пространстве (т. е. для заданного класса мы выписываем характеры г различных неприводимых представлений и образуем из них вектор). Равенство (3.161) означает, что ортогональность этих векторов имеет место только в том случае, когда один из классов состоит из единичного элемента. Если бы равенство (3.161) можно было обобщить на случай любой пары классов, мы смогли бы заключить, что k<^r, и этот вывод вместе с нашим предыдущим результатом о том, что r^k, и доказывал бы, что r = k, т. е. что число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу классов в группе. Приведем теперь план доказа-
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed