Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
нуль. При k Ф / вещественные части собственных значений исходной матрицы
А (или J) различны. Если матрица М достаточно мала, то Dv+1 также
достаточно малы, поэтому и последовательные сдвиги матриц J по формуле
(3.9.38) достаточно малы для того, чтобы условие (3.9.56) выполнялось во
всех приближениях. Итак, при
Re \Jk) {J/}, (3.9.56)
\Jk-Jj + Hn, (r))|>0. (3.9.57)
При k = j
I (n, g>)|>0 при |n|>0, (3.9.58)
но при n = 0 по построению
Mjf0) = 0. (3.9.59)
Для того чтобы матрица решения Un была единственной, положим
Vf = 0.
Итак, подставляя (3.9.55) в (3.9.49), мы на v-м шаге получаем в качестве
единственного и явного решения (индекс v у матриц Jk и J j опущен)
Uv+1,ik(ф) = ?(Л-7/ + tn-co)_1Mv!"iexp(m-<p). (3.9.60)
П
Его люжно представить также в виде
I
UvJ_1= -сг| ехр ((7*-J/) т] Mv (<р + т) dr. (3.9.61)
о
Знак a j ... указывает на то, что при Jk-У/>0 интеграл берется от t - -
оо, а при Jk-7/<;0 - от t = оо.
Итак, суть полученных нами результатов сводится к следующему. Предложен
метод последовательных приближений, позволяющий в явном виде построить
квазипериодическую матрицу решений
V = ri(I + ?/v). (3-9.62)
V- 1
а
Л= lim Jv. (3.9.63)
V -> со
В практических приложениях для построения достаточно малой
квазипериодической матрицы М достаточно весьма небольшого числа шагов. В
литературе значительная часть математических работ отводится
доказательству сходимости предложенной выше
176
Глава 3
процедуры. Поскольку изложенная выше схема последовательных приближений
не позволяет нам проникнуть глубже в суть проблемы сходимости, мы
отсылаем тех из читателей, кого это интересует, к разд. 5.3 (гл. 6) и
приложению А, где проблема сходимости рассмотрена подробно. Пока же
ограничимся чисто качественным замечанием относительно того, сколь широк
круг сходимости. Из (3.9.60) видно, что матрица U получается из матрицы
М, по существу, делением на Д-Ji- Для того чтобы бесконечное произведение
в (3.9.62) сходилось, матрицы Uv должны достаточно быстро стремиться к
нулю. Это по крайней мере отчасти достигается, если исходная матрица М
достаточно мала, а разность между исходными собственными значениями J
достаточно велика.
Глава 4
СТОХАСТИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе мы изложим некоторые наиболее существенные особенности
стохастических и дифференциальных уравнений. Тем, кто захочет узнать о
них больше, мы рекомендуем обратиться к книге Гардинера (см. литературу в
конце книги).
Во многих проблемах естественных и других наук нам приходится иметь дело
с макроскопическими свойствами систем, например с макроскопическими
свойствами жидкостей, электрических цепей, макроскопической активностью
коры больших полушарий, фиксируемой на электроэнцефалограммах, и т. д.
Макроскопические свойства вполне естественно описывать макроскопическими
величинами (например, если речь идет об электрических цепях, то такими
параметрами могут служить макроскопические электрические заряды и токи).
Не следует забывать, однако, что любой из таких макроскопических
процессов есть результат многих более или менее когерентных
микроскопических процессов. Например, носителями тока в электрических
цепях в конечном счете являются отдельные электроны, а электрические
волны в коре больших полушарий порождаются в конечном счете отдельными
нейронами. Микроскопические степени свободы проявляются в виде
флуктуаций, которые можно описать, вводя дополнительные аддитивные члены
в уравнения для макроскопических величин (если ие считать вводимых
членов, то в остальном уравнения вполне детерминистичны). Поскольку в
общем случае микроскопические процессы разыгрываются в гораздо меньших
масштабах времени, чем макроскопические процессы, флуктуации, отражающие
"внутренний мир" отдельных составных частей системы, происходят в
существенно более коротких временных масштабах, чем макроскопические
процессы. Теория стохастических дифференциальных уравнений описывает
флуктуации в определенной математической идеализации, о которой пойдет
речь в дальнейшем.
В практических приложениях не следует забывать о необходимости проверки,
имеет ли данная идеализация смысл. Если получаемые результаты
противоречат здравым физическим рассуждениям, то следует тщательно
выяснить, не нарушены ли условия, при которых верны идеализированные
предположения.
178
Глава 4
4.1. Пример
Рассмотрим сначала один пример, на котором наглядно продемонстрируем
основные идеи избранного нами подхода: одну переменную q, зависящую от
времени t. Из непрерывной временной последовательности мы выберем
дискретную последовательность tit предположив для простоты, что интервалы
между ti и C-i равны. Изменение переменной q, когда система переходит из
состояния /,¦_ х в состояние обозначим
Aq{ti)s=q(ti)-q (C.i). (4.1.1)
Изменение переменной состояния q вообще говоря, обусловлено
макроскопическими, или когерентными, силами К, которые могут зависеть от
q, и, кроме того, флуктуациями, приходящими в рассматриваемый интервал
