Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
5.1. Связанные линейные осцилляторы
Рассмотрим теперь поведение связанных осцилляторов с более математических
позиций: нас будут интересовать в первую очередь математические свойства
решений соответствующих уравнений безотносительно к физической природе
осцилляторов. Для дальнейшего важно различать линейный и нелинейный
осцилляторы, так как они ведут себя по-разному.
5.1.1. Линейные осцилляторы с линейной связью
Линейный осциллятор можно описать уравнением вида
хД (в 1*1 = 0, (5.1.1)
где хх - переменная, зависящая от времени, - собственная частота. Такой
осциллятор может быть линейно связан с другим осциллятором, т. е. в
уравнения линейных осцилляторов могут входить аддитивные члены, линейные
соответственно по х2 и х1:
хг 4- (Тилу = ах2, 2
(5.1.2)
х2-f (0^2 = P^i • (5.1.3)
Вводя дополнительные переменные, называемые в гамильтоновой механике
импульсами,
(5.1.4)
р2 = х2/&г, (5.1.5)
мы можем записать уравнение (5.1.2) в виде дифференциальных уравнений
первого порядка
Pi = - юл + (а/(щ) х2,
(5.1.6)
Хх=щрх (5.1.7)
и аналогичную операцию проделать с уравнением (5.1.3). Образуя из
переменных х1г рх, х3, р2 вектор
Pi
Xi
Рг X2
q,
(5.1.8)
Мир связанных нелинейных осцилляторов
191
представим уравнения (5.1.6), (5.1.7) и соответствующие уравнения с
индексом 2 в матричном виде
q = Lq, (5.1.9)
где L - матрица с элементами, не зависящими от времени. Ясно, что к виду
(5.1.9) приводятся уравнения для любого числа линейно связанных линейных
осцилляторов. Решение уравнения этого типа было получено нами в разд.
2.6, поэтому все проблемы, связанные с такими осцилляторами, полностью
решены. Как будет показано в дальнейшем, уравнения такого же типа, как и
полученные в разд. 2.6, остаются в силе, если переменные */ считаются
непрерывно распределенными в пространстве.
5.1.2. Линейные осцилляторы с нелинейной связью Пример. Сдвиги частот
В качестве примера линейных осцилляторов с нелинейной связью рассмотрим
уравнения
*i+ = ^хгх2, (5.1.10)
х2+СО2Х2 = (5.1.11)
где квадратичные члены в правых частях описывают связь.
Исследовать математические особенности решений уравнений такого типа
удобнее в новых переменных. Пусть
Pi = Xjl(?>j. (5.1.12)
Тогда уравнение (5.1.10) запишется в виде системы уравнений
Р1 = Х11(01= -0D]*! (сб/СО]} *1*2 , (5.1.13)
*i=(DiPlt (5.1.14)
и аналогичную систему уравнений мы получим для второго осциллятора.
Комплексные переменные
bj = Xj + ip,-, b* = Xj-ip,- (5.1.15)
позволяют представить систему уравнений (5.1.13), (5.1.14) в виде одного
уравнения. Для этого мы умножим уравнение (5.1.13) на i и прибавим к нему
уравнение (5.1.14). В переменных (5.1.15) суммарное уравнение запишется в
виде
Ь1= - ш^-f iy (&!+ b\) (b2 +b*2), 7 = а/4(о1. (5.1.16)
Подставляя
Ь; = г7-ехр(-icp;), (5.1.17)
где г;, ф; - вещественные числа, в (5.1.16), деля правую и левую
192
Глава 5
части на ехр (- гср/) и разделяя вещественную часть и мнимую, получаем
два уравнения:
Аналогичные уравнения можно вывести и для г2, ср.,. Эти уравнения
представляют собой не что иное, как уравнения движения для радиусов и фаз
ф/. Объединяя переменные в векторы
Ясно также, каким образом мы могли бы вывести аналогичные уравнения для
любого числа п линейных осцилляторов с нелинейными связями. Характер
решений уравнений линейных осцилляторов с нелинейными связями может
существенно отличаться от характера решений уравнений линейных
осцилляторов с линейными связями. Как видно из (5.1.19), в случае
нелинейной связи Ф1 = не удовлетворяет уравнениям. Возникает проблема:
можно ли говорить о периодических колебаниях (и если можно, то как), если
на линейные осцилляторы наложена нелинейная связь?
Еще более простой, но весьма важный эффект наблюдается при изменении
характера связи, например при переходе от квадратичной связи к
кубической:
гг = -2уггг2 sin (2фА cos (ср.,), ф! = Ю1 - 4уг2 cos2 (ф!) cos (ср.2).
(5.1.18)
(5.1.19)
(5.1.20)
(5.1.21)
и записывая правые части уравнений для ср в виде
(5.1.22)
(5.1.23)
а уравнении для г в виде
(5.1.24)
мы приходим к уравнениям общего вида
(р = со -г f (г, ср),
(5.1.25)
(5.1.26)
г = g (г, <р).
х± + to = ахгХ2 ¦
(5.1.27)
Мир связанных нелинейных осцилляторов
193
Уравнение для фазы фх имеет в этом случае вид
cpi = ft>i-4у т\ cos"* cos"* ф2. (5.1.28)
Предположим, что в рассматриваемой модели г2 - постоянная, не зависящая
от времени. Чтобы учесть влияние члена в правой части уравнения (5.1.28),
содержащего фг и ф2, мы можем в первом приближении усреднить его по
достаточно большому интервалу времени. Так как при таком усреднении
( cos2 ф! cos2 ф2) = 1/4, (5.1.29)
мы вместо уравнения (5.1.28) получаем новое уравнение для фг в нулевом
приближении, т. е. ф1(0>
ф1 = Их-уг\. (5.1.30)
Из него видно, что в низшем приближении действие нелинейных членов в
правой части уравнения (5.1.28) сводится к сдвигу частот. Следовательно,
всякий раз, когда нам встречается нелинейная связь между осцилляторами,
