Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
+ Gm_i,m(T, Ф)Ч||т>К, Ф). (3.7.22)
Это уравнение рассматривается в пределе при т -0. При т = 0 диагональный
элемент обращается в единицу: Gm^1, m-1 = 1. Так как Gm_!, m_!
дифференцируем по т, при малых т его можно представить в виде
Gm_1>m_i('г, ф) = 1+ат_! (ф) т. (3.7.23)
Так же как и в случае последнего (/ = пг) уравнения (3.7.1), получаем из
(3.7.23) для конечного т
Gm_!, m-i (г, Ф) = exp |\f (ф + о) j . (3.7.24)
Чтобы решить неоднородное уравнение (3.7.22), положим, как при решении
обыкновенных дифференциальных уравнений,
q (m-!) (t, ф) = ехр daam^ (ф _")] g^-1" (t, Ф), (3.7.25)
где вектор-функция g<m_1) пока не известна. Подставляя (3.7.25) в
(3.7.22), получаем
exp [J daam-i{(f + x- o)Jg(m_1) (t + i, ф + т) =
160
Глава 3
= exp ^ f daa^-^cp + oJJ exp |j daam"i (cp -a) J x
Xg|m-I)(<, <P) + Gm_i,m(T, cp) q(m) (t, cp). (3.7.26)
Разделив уравнение (3.7.26) на экспоненту, стоящую в его левой части, мы
придем к уравнению
g{m-l)(t + r, <p + T) = g(m-1)(<, cp) + f(/, Т, ср), (3.7.27)
где мы для краткости обозначили
f (t, Т, <Р) = Gm_1, т (Т, <Р) X
[Г+Т 1
- I ^аат_!(ср + т - a)Jq(m)(G ср). (3.7.28)
Чтобы определить вид матричного элемента Gm_г, т при конечных т, начнем с
бесконечно малых т, так как матрица G дифференцируема по т и элемент
Gm_i, т должен обращаться в нуль при т = 0. Из (3.7.22) следует, что при
т -0
Gm-l, т = хЬ (ср). (3.7.29)
Чтобы избавиться от индексов, введем временно обозначение
g<m-1)(G <P) = y(G <Р) (3-7.30)
и рассмотрим (3.7.27) при т, образующих последовательность т, 2т, ....
Запишем возникающую последовательность уравнений:
y(t + r, <Р + т) - у(/, cp) = f(G т, ср), (3.7.31)
у(М-2т, ср + 2т) - у(t + r, ср + т)=Ч(/ + т, т, ср + т), (3.7.32) У (t +
Nr, ср + ЛГт) - y(t + (N- 1)т, ср + (N- 1) т) =
= f (/ (N - 1) т, т, q> + (N- 1) т). (3.7.33)
Суммируя эти уравнения, получаем
N- 1
у {t + Nr, (f + Nx) = y{t, ср) + I f {t + lr, т, cp-f/т), (3.7.34) или,
переходя к бесконечно малым т,
{"
y{t + t0, ср + t0) = у (/, ср) + j ds f {t + s, т, (р + s). (3.7.35)
о
Используя определение (3.7.28) вектор-функции f и переходя снова к g<m-I>
(с помощью (3.7.30)), преобразуем (3.7.35) к виду
g(m-'> (t +10, ср +10) = g(m-° (t, ср) + К (t, tn, cp), (3.7.36)
Квазипериодические коэффициенты
161
где
(о г ^+s
и Г г+5
К(Т to, <Л I dsb (cp + s)exp - I daam_j (*р + s -ст) + o' L о
J am(4 - o)daj q(m) (t, cp).
(3.7.37)
Jq{m)(t, cp), (3.7.39)
При подходящем выборе начальных условий решение уравнения
(3.7.36) примет вид
О г t
ф) = J dsb (ср + s) exp - \ doam-1{<p - o) +
оо L -S
+ ^am(cp-a)dcT].q(m)(T ф). (3.7.38)
Подставляя (3.7,38) в (3.7.36) и производя несложные сдвиги переменных
интегрирования s и а в левой части (3.7.36), нетрудно убедиться в том,
что (3.7.38) действительно удовлетворяет уравнению (3.7.36). Решение
(3.7.38) можно представить в более удобном виде:
g(m-1) it, ср) = exp \ - \ am_j (ср- а) da L о
где
о Is )
J=\ dsb (ср + s) exp I - f [am_! (ср + ст) - am (cp-f a)] do . (3.7.40)
oo I 0 )
Свойства интеграла J удобнее изучать, если произвести разложение
a / (ф - о) = А./ +а;-(ф - о). (3.7.41)
Из (3.7.23) и доказанных нами свойств матрицы G (т, ср) следует, что am_i
(ф) - Тj-периодическая функция по ср/ и принадлежит классу Cfcno ср.
Если, кроме того, мы воспользуемся предположением. (6) теоремы 3.1.1, то
принадлежность классу Ck по ср к условие КАМ гарантируют, что интегралы
от ay в (3.7.38) останутся конечными при а -> ± оо и что они
квазипериодичны по s. Так как вектор b также квазипериодичен, а
квазипериодические функции ограничены и >
lm-L-i<0, (3.7.42)
мы без особого труда убеждаемся в том, что интеграл J сходится.
Вспомним, что решение неоднородного уравнения (3.7.22) мы первоначально
намеревались искать в виде (3.7.25). Чтобы полу-
162
Глава 3
чить решение типа (3.7.25), необходимо умножить (3.7.38) на
ехр j dcram_1(cp - о) j • (3.7.43)
Тогда
q(m-I) (t, ср) = J(tf)q(m>(/, ср). (3.7.44)
Нетрудно видеть, что решение (3.7.44) имеет требуемый вид: второй
сомножитель в правой части (3.7.19) можно отождествить со вторым
сомножителем в правой части (3.7.44), a J - с h. Итак, мы действительно
можем выбрать h (<р), или J (ср), так, чтобы они зависели только от ср, а
это позволяет привести матрицу (3.7.22) к диагональному виду.
Рассмотрим теперь подробно вид произведения
Gm-!, mq(m). (3.7.45)
Сравнивая (3.7.22) и (3.7.36), мы заключаем, что (3.7.37) (с
учетом
(3.7.26)) необходимо умножить на
ехр | doam^.1 (ф + т- о) j . (3.7.46)
После несложных преобразований интегралов получаем
Gm_j, т (т, ср) = ехр | йаат^г (ср + о) | dsb (ср + s) X Lo J о
X ехр da[am((f + a)-am_!(cp + o)] j. (3.7.47)
Итак, Gm_b ffl - действительно функция от т и ср (но не от t), как
и должно быть.
Наша процедура допускает очевидное обобщение на систему всех уравнений
(3.7.1): полагая
q(/> (t, Ф) = q(/) (t, ф) + Е hk (ф) qw (/, Ф), (3.7.48)
к >/
мы можем определить коэффициенты hk (ф), так, чтобы на вектор-решениях q
