Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
i также типа сумм Ито. Здесь нам придется воспользоваться результатом из
теории стохастических процессов: квадрат выражения, стоящего в квадратных
скобках, сходится к dt/2 по вероятности. Таким образом, вся сумма
сходится к обычному интегралу. Полученные результаты позволяют нам
записать соотношение между интегралами Стратоновича и Ито в виде
f gimdwm(t')= | gimdwm(t')+ I ~~~~~~gkmdt . (4.3-14)
! 1 ; dqk
Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения
187
Теперь мы уже в состоянии сравнить процессы Ито и Стратоновича,
описываемые соотношениями (4.3.2) и (4.3.4), подробно. Как и должно быть,
оба процесса приводят к одному и тому же результату (в чем мы уже
убедились), если установить соответствие между следующими величинами:
процесс Стратоновича процесс Ито
gin, = glm, (4.3.15)
д'______________________________________у^ 1 dglm "
2 dqk
Иначе говоря, мы получим один и тот же результат, если воспользуемся
стохастическим уравнением Стратоновича, но вместо g и К, входящих в
уравнение Ито, подставим g и К, задаваемые формулами (4.3.15). В
частности, полученные результаты позволяют вывести уравнение
Стратоновича-Фоккера-Планка. Если стохастическое уравнение Стратоновича
записать в виде
\dQi = Kt[(q)[dt + gtJ_( q) dwm[(t) (4.3.16)
и вычислить gimdwm по правилу (4.3.1), то соответствующее уравнение
Фоккера-Планка примет вид
~ -J-\\Ki (ч) + -7Г f\ +ут^- (gligmif) •
dt • dqi (L 2 dqk J J 2 dqtdqm
(4.3.17)
Напомним, что мы приняли соглашение о суммировании по немым индексам.
Поскольку в других разделах книги мы не придерживаемся этого соглашения,
запишем уравнение Фоккера-Планка еще раз, явно указывая все суммы:
-Ь-1д?г{[,йй>+т?^>]'>+
+
гЕтййг(?"'*-0- (4'318)
1пг
4.4. Уравнения Ланжевена и уравнение Фоккера- Планка
Для полноты упомянем об уравнениях Ланжевена, представляющих собой
частные случаи уравнений (4.2.1), поскольку входящие в них флуктуирующие
силы не зависят от переменной q и времени t. Следовательно,
соответствующее уравнение Фоккера- Планка одно и то же и в исчислении
Ито, и в исчислении Стратоновича.
Упражнения. 1) Почему при вычислении правой части (4.2.18) необходимы
соотношения (4.2.14), (4.2.15)? Указание-. Uj зависит
188
Глава 4
от значения, принимаемого q при t - ti, a Kk и gkm - от значения q,
принимаемого при t =
2) Как выглядит явное выражение для совместной вероятности
(4.2.13)? Указание: условная вероятность Pw (w, ?|w' = 0, 0) определяется
по формуле
(2л 0"
(4.4.1)
Глава 5
МИР СВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
Когда речь заходит об осцилляторах, большинство из нас, по-видимому,
прежде всего представляет себе механические осцилляторы, такие, как
пружины. Еще один не менее известный пример механического осциллятора -
маятник. Если амплитуда колебаний достаточно мала, то маятник можно
рассматривать как линейный осциллятор, но при больших амплитудах это -
нелинейный осциллятор. Во многих случаях, представляющих значительный
интерес для практических приложений, нам приходится иметь дело со
связанными осцилляторами. Достаточно взять какое-нибудь упругое тело:
математической моделью его служит система связанных между собой конечных
элементов, каждый из которых может быть представлен осциллятором. Такого
рода математические модели играют важную роль в механике, например при
расчете вибрации двигателей или высотных сооружений или флаттера крыла
самолета. Разумеется, иногда мы рассматриваем предельные случаи, в
которых конечные элементы аппроксимируют непрерывное распределение,
соответствующее нашему исходному представлению о сплошной среде.
Колебания встречаются не только в механике, но и в электро- и
радиотехнике. Здесь нам приходится иметь дело не только с колебательными
контурами на старых электронных лампах, но и с новыми устройствами с
колебательными контурами на транзисторах и других электронных приборах.
В оптике лазер можно считать состоящим из большого числа связанных
квантовомеханических осцилляторов - электронов рабочего тела лазера.
Согласованное действие этих осцилляторов приводит к генерации лазерного
излучения в виде когерентных колебаний электромагнитного поля. Во многих
экспериментах, выполненных на жидкостях, наблюдаемые явления можно
интерпретировать как обусловленные взаимодействием специфических
осцилляторов, описывающих сложные движения жидкости. Химические
колебания, о которых мы упоминали во введении, также можно рассматривать
как примеры поведения связанных осцилляторов. Даже в физике элементарных
частиц мы встречаемся с полями, которые так или иначе можно рассматривать
как совокупность равномерно распределенных связанных осцилляторов.
Как хорошо известно, наблюдаемые макроскопические электрические колебания
в коре больших полушарий обусловлены ко-
190
Глава 5
герентным возбуждением и торможением нейронов. По этим и многим другим
причинам поведение связанных осцилляторов представляет первостепенный
интерес и имеет фундаментальное значение.
