Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 58

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 152 >> Следующая

его в явном виде для вектор-решений, получаем (G = Ст)
q(/)(/ + T, ф + т) = J) G/*(т, ф) q<fc)(Т ф), /= 1, . . . , гп.
k
(3.7.1)
где обобщенные характеристические показатели Я./, соответствующие q<;>,
упорядочены так, что
. . . T>Xm. (3.7.2)
Так как матрица решений не вырождена, из свойств Q (t, ф), о ко-
1
Рис. 3.6.2. Вопреки принятому нами предположению функция (5 (дг) имеет
два экстремума.
Квазипериодические коэффициенты
157
торых шла речь в разд. 3.5, можно вывести следующие свойства матричных
элементов G/*.
Если выполняются предположения (1) - (5) теоремы 3.1.1, то элементы Gjk
(t, ф) дифференцируемы по т, Т+периодичны по ф; и принадлежат классу Ck
по ф. При более слабых предположениях (1) - (4) теоремы 3.1.1 матричные
элементы имеют вид Gjk (т, Фо-т), принадлежат (по крайней мере) классу С1
по т, классу С0 по аргументу фт (= ф0-т) и квазипериодичны по т.
Асимптотическое поведение левой части (3.7.1) должно быть таким же, как
поведение правой части (3.7.1) при t-> оо. Отсюда следует, что
G//j = 0 при k<zj. (3.7.3)
Доказательство этого утверждения проводится по аналогии с приведенным
выше и основано на исследовании асимптотического поведения вектора q(ft)
при /->- оо.
Докажем теперь, что векторы q допускают такое преобразование, при котором
матрица Gjk приводится к диагональному виду. Для этого нам необходимо
знать асимптотическое поведение вектора q при t ->¦ - оо. Чтобы получить
необходимую информацию, будем постепенно решать уравнения (3.7.1), начав
с уравнения при / = m
q(m,(/ + T, ф + т) = Gmm (т, ф)q(m){t, ф). (3.7.4)
Предположим, что т-бесконечно малая величина. Так как матричный элемент
Gmm дифференцируем по т и при т - 0 векторы q в правой и левой частях
(3.7.4) совпадают, мы можем записать
Стт(т, ф)= 1+пт(ф)т. (3.7.5)
Подставляя t + т вместо t и ф + т вместо ф, получаем вместо
(3.7.4)
q (m> (/ -j- 2т, ф + 2т) = Gmm (t, ф-f т) q<m) (/ + т, ф + т).
(3.7.6)
Подставляя вместо q в правую часть соотношения (3.7.6) правую часть
равенства (3.7.4), преобразуем (3.7.6) к виду
q(m) (t 2т, ф + 2т) = Gmm (т, ф + т)Gmm(t, ф) q(m> (/, ф). (3-7.7)
Повторяя эту процедуру N раз, приходим к соотношению
~ N
q(m) (/ + Ат, Ф + Ат) = П Опт + ф + (/-l)T)q(m)(/, ф). (3.7.8)
77 ПГ
Используя разложение (3.7.5) и то, что т - бесконечно малая величина,
произведение по I можно заменить экспоненциальной функцией:
<7(п°(* + 4), Ф + to) = exp Jy та (ф + (/- 1) т)| q<m) (/, ф). Е1-7
9)
158
Глава 3
Переходя, наконец, к пределу при т 0, заменим сумму в (3.7.9) интегралом
^(т) (/ + /", Ф + *о) = ехр [\ doam((f + o)^ qim) (t, <р). (3.7.10)
Произведем теперь сдвиг
* = 0, t0-+t, ф-^ф-t, (3.7.11)
который после замены переменных в интеграле позволит нам записать
(3.7.10) в виде
4<m)(^ Ф) = ехр Г ('dcram(<p - a) q(m)(0, ф- t). (3.7.12)
L о J
Уравнение (3.7.12) можно рассматривать как функциональное уравнение
относительно q(m\ Чтобы решить его, положим
Ч(т)(*, ф) = ехр ? fdoam((f - o)j w(m) (t, ф). (3.7.13)
Подставляя (3.7.13) в (3.7.12), получаем соотношение
wф) = ^т,(0, ф -t). (3.7.14)
Так как (3.7.13) принадлежит классу Ск по ф] и ^-периодично по ф/, мы
заключаем, что
w<m>(^ ф)- квазипериодическая функция по t. (3.7.15) Итак, явное решение
уравнения (3.7.12) имеет вид
q(m) (t, ф) = ехр I ' daam (ф - a)jw<m)(0, Ф - t). (3.7.16)
Заметим, что ат в (3.7.16) -- квазипериодическая функция от о.
Обратимся теперь к решению следующего уравнения относительно q(m_1>.
Поясним общую идею на примере т - 2. В двумерном случае (3.7.1) имеет вид
q(l)(^-fT, 9 + t) = Gu(t, ф) q(1) (t, ф) + б12(т, ф)<?<2)(^ ф),
(3.7.17)
q(2> (t + x, Ф + т) = G22 (т, ф) q <2) {t, ф). (3.7.18)
Покажем, что можно построить новое решение исходного уравнения (3.1.5) с
вектор-решением q(l), при котором матрица уравнений
(3.7.17) и (3.7.18) будет диагональной. Заметим, что любая линейная
комбинация векторов q(1) и q<2> есть снова решение уравнения
(3.1.5), если коэффициенты не зависят от времени. Положим поэтому
q(l>(*. ф) = q(1> ф) + h(<p) q(2) (t, ф). (3.7.19)
Квазипериодические коэффициенты
159
Подставляя (3.7.19) в (3.7.17), получаем
q(1) К + т, cp0 + x) + /i(cp + T)q(2)(/ + T, ф + т) =
1 1
= Gu (т, ф) q(1) {t, Ф) + Сц(т, ф) h (ф) q<2> (G ф)Ч~012(т, Ф) q(2) {t,
Ф).
' ' (3.7.20)
Так как подчеркнутые выражения те самые, которые мы хотим сохранить в
окончательном результате, потребуем, чтобы остальная часть обратилась в
нуль. Используя (3.7.18), приходим к уравнению
h (ф + т) G22 {t, ф) = Gn (т, ф) h (ф) + G12 (т, ф). (3.7.21)
Покажем, что этому уравнению действительно можно удовлетворить, что
отнюдь не очевидно заранее, так как Gjk - функции от т и ф, в то время
как h зависит только от ф. Как будет показано структура матричных
элементов G позволяет выбрать h функцией только от ф.
Имея в виду эту задачу, обратимся к соответствующему преобразованию
уравнений (3.7.1). Начнем со второго уравнения
q(m i)^_|_T> ф_]_х) = Gm_i, m_1 (т, Ф^(т ^(t, ф) +
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed