Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
при последующих итерациях могут возникнуть отличные от нуля постоянные
члены. Матрица Dx задается выражением
С помощью только что описанных манипуляций уравнение (3.9.13) приводится
к виду
Для упрощения этого уравнения предположим, что подчеркнутые члены
выпадают при любой матрице Q. Прежде чем выписывать получающееся
уравнение для Uи воспользуемся тем, что 6Д - квазипериодическая матрица,
т. е. представима в виде
Выражение (3.9.18) позволяет представить производную от Ux по времени как
скалярное произведение
N
UiJQi - JU1Q1
(3.9.14)
О = DiQi-DiQx.
(3.9.15)
О
о
о
О
М,
(3.9.16)
UjQi + ДjVQi - J UxQi + (1 + UQi - JQi + UiJQi -Ь M0QX д
+ M0U1Q1 ф- DiQi DxQi. (3.9.17)
^i = ? Ui,n exp [tn (о)/ + ф)].
(3.9.18)
(3.9.19)
t=i
В этих обозначениях уравнение для Uг имеет вид
(3.9.20)
172
Глава 3
С учетом (3.9.20) уравнение (3.9.17) переходит в следующее уравнение для
Qx:
(1 4- Uj) = JQ1 UiJQi + MaU1Ql -)- D1Q1. (3.9.21)
(i +77.) jq~
Добавляя к правой части нуль в виде
UiDiQi-U1D1Q1, (3.9.22)
преобразуем (3.9.21) к виду
(1 + UQi= (1 -р Uj) JQi + (1 + Ui) D1Q1J\- (M0t/X- ^i^])Qi.
(3.9.23)
После умножения уравнения (3.9.23) слева на
(1 + Ui)-1 (3.9.24)
получаем
(Д = JQj + D& + (1 + U,)-! (MoU.-U.D,) (Д. (3.9.25)
Если обозначить для краткости
J + D1 = J1 (3.9.26)
и
(l + i/1)-1(M0i/i-i/iD1) = M1I (3.9.27)
то
Qi = >7iQi + 7H1Q1. (3.9.28)
Здесь Jx- диагональная, не зависящая от времени матрица, M-l -
квазипериодическая матрица. На первый взгляд кажется, что никаких
преимуществ мы не достигли, поскольку пришли к уравнению для Qlt имеющему
такой же вид, как и исходное уравнение
(3.9.10). Однако даже грубая оценка показывает, что матрица Л4г
по порядку величины много меньше, чем М0. Действительно, вве-
дем малый параметр е, такой, что
M0~f. (3.9.29)
Так как матрица Dx получается из матрицы Мх с помощью преобразования
(3.9.16),
D!~e. (3.9.30)
С другой стороны, мы предполагаем, что J по сравнению с М9 есть матрица
порядка единицы, т. е.
J~ 1. (3.9.31)
Квазипериодические коэффициенты
173
Из (3.9.30), (3.9.31) следует, что правая часть уравнения (3.9.20)
порядка е. Отсюда мы заключаем, что
i/x - е. (3.9.32)
Из соотношения (3.9.27) видно, что
А4г --- s2, (3.9.33)
в то время как
Л~1+е. (3.9.34)
Таким образом, уравнение (3.9.28), если выписать входящие в него
е, примет следующий вид:
Qi = 7iQ1 + e2. . . Qj.. (3.9.35)
Это означает, что нам удалось значительно понизить величину
квазипериодической составляющей в правой части. Подчеркнем, что наша
оценка носит весьма поверхностный характер и что сходимость метода
доказана строго математически (см. ниже). Наши дальнейшие действия
очевидны: мы продолжаем последовательные приближения, принимая на втором
шаге
Qi = (1 + ^2)Q2, (3.9.36)
а на v-m
Qv = (l + ?/v+i)Qv+i- (3.9.37)
На каждом шаге матрица Qv предполагается квазипериодической. Одновременно
мы полагаем
7v+i = ^v + ?\>+i> (3.9.38)
где Z)v+1 -¦ главная диагональ матрицы Mv+1
Mv+1 = -ЦгЬ • • I Mv+Др! . . . d<fN. (3.9.39)
(2л)"
Обозначая для краткости
Mv+1 = (1 + Uv+1)-' (MVUV+1 - UV+1DV+1), (3.9.40)
мы можем записать уравнение для Qv+i в виде
Qv+i = J v+iQv+i + ^v+iQv+i • (3.9.41)
Чтобы получить соотношения (3.9.38) - (3.9.41), необходимо лишь заменить
в предыдущих соотношениях (3.9.26) - (3.9.28) величины с индексом 0
или без индекса величинами с индексом v, а индекс
1 - индексом v + 1. Выполняя последовательно преобразования
(3.9.36), (3.9.37), мы получаем решение в виде
Q-a + HOU + tA,) . . . (1 + Ul)Ql. (3.9.42)
174
Глава 3
В пределе при I оо уравнение (3.9.41) переходит в уравнение
Qi = IiQi + 0(e') Qi^JiQi. (3.9.43)
Уравнение (3.9.43) легко решается. Его общее решение имеет вид
Qi = eJliQi (0), (3.9.44)
где Ji - диагональная матрица.
В качестве начальных условий можно выбрать, например,
Qi (0) == 1. (3.9.45)
Итак, нам остается лишь построить матрицу Uv+1 (v = 0,
1, . . .)
и доказать, что в качестве U можно выбирать квазипериодическую функцию.
Следуя (3.9.20), запишем уравнение для U в виде
dUv+i
V+1 ¦
= AL-D.
v-M*
(3.9.46)
Отбросим для простоты индексы v и v матрицу
М -D = ЛИ.
1. Кроме того, введем (3.9.47)
которую можно разложить в кратный ряд Фурье ЛК (ф) = Z ехр (in • ф).
(3.9.48)
Чтобы решить уравнение (3.9.46), разложим U (ф) в такой же ряд: U (<Р) =
Z ехр (in-ф). (3.9.49)
П
Подставляя (3.9.48) и (3.9.49) в (3.9.46), получаем для коэффициентов
Фурье соотношения
U"(J + i(n, со))- JU" = М". Введем теперь элементы матриц ?/", J и М'п\
ип = (и№),
Ji
J
(3.9.50)
(3.9.51)
(3.9.52)
ГС
Мп = (м}кп). (3.9.53)
Это позволит записать матричное уравнение (3.9.50) поэлементно:
U$ (У* + i (п, со)) - У/?//"> = МУ1П). (3.9.54)
Решение уравнения (3.9.54) находится без труда:
= Uk-Ji + i (п, со)]-1 Щ{кп\ (3.9.55)
Квазипериодические коэффициенты
175
если знаменатель (стоящий в квадратных скобках) не обращается в нуль.
Нетрудно убедиться, однако, что знаменатель действительно не обращается в
