Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
мы вправе ожидать сдвиг частот (и, возможно, другие эффекты). В
дальнейшем мы рассмотрим осцилляторы с нелинейными связями различных
типов. В одном из типов мы исследуем условия, при которых поведение
связанных осцилляторов удается воспроизвести с помощью набора несвязанных
осцилляторов (возможно, различных). Как будет показано, этот класс
осцилляторов играет важную роль во многих практических приложениях. С
другой стороны, недавно были обнаружены обширные классы осцилляторов,
обладающих поведением совершенно иного типа. Решения, описывающие
хаотическое поведение (см. разд. 8.11.2), служат одним из важных примеров
качественно нового типа поведения осцилляторов.
5.2. Возмущения квазипериодического движения в случае амплитуд, не
зависящих от времени (квазипериодическое движение сохраняется)
Суть некоторых из основных трудностей, возникающих при анализе систем
осцилляторов с нелинейными связями, и способы их преодоления удобнее
всего пояснить на частном примере -• уравнении вида (5.1.25), где г - по
предположению постоянная, не зависящая от времени.
Если между осцилляторами нет связи, их фазы удовлетворяют уравнениям вида
-^ = (0. (5.2.1)
dt
Так как осцилляторы обычно колеблются с различными частотами
194
Глава 5
а1У , Шп, их движение в целом можно назвать квазипериоди-
ческим. Включим связь между осцилляторами и дадим ей возрасти
до некоторого порогового значения. Система уравнений, описывающих набор
осцилляторов с нелинейными связями, имеет в данном случае вид
= to + ef (ф). (5.2.2)
at
Предполагается, что f - функция, периодическая по ф1Р ф2, . . . . . , фп,
представимая рядом Фурье
Ч<Р) = 1/п,б;тЛ (5.2.3)
т
где
т.ф = т1ф1 + /п2ф2+ . . . +т"фп. (5.2.4)
Малая величина е в (5.2.2) указывает на малость дополнительной силы f.
Предположим, что наложенная связь не нарушает квазиперио-дического
характера решений. Как было показано в предыдущем разделе на примерах
(5.1.28), (5.1.30), дополнительный член f может приводить к сдвигу
частот. С другой стороны, мы покажем, что адекватный учет возмущения ef
возможен только в том случае, если оно не приводит к сдвигу частот ш/.
Ситуация, с которой мы здесь сталкиваемся, полностью аналогична ситуации,
описанной нами в разд. 2.1.3, где сходимость ряда Фурье определялась
условиями иррациональности отношений частот <в/. Оказывается, что и в
рассматриваемом случае мы возвращаемся в точности к тем же условиям
иррациональности. Для выполнения их необходимо, чтобы основные частоты
<в/ все время оставались неизменными. Достичь этого можно с помощью
формального трюка: одновременно с возмущением f ввести в (5.2.1)
контрчлен А (е), компенсирующий в каждом порядке по е сдвиг частот,
вызываемый возмущением f. Следовательно, вместо уравнения (5.2.2) мы
должны рассматривать уравнение
---= ю + А(е) + ег(ф), (5.2.5)
at
где А (е) - пока не известная функция от е, которую требуется найти.
(Введение контрчленов -• прием, отнюдь, не новый для физиков,
занимающихся квантовой электродинамикой или квантовой теорией поля, где
частоты to соответствуют наблюдаемым энергиям частицы, а сдвиг
энергетических уровней обусловлен полевым аналогом f - связью частицы с
полем. Для получения правильных значений наблюдаемых энергий в
гамильтониан вводятся контрчлены. Соответствующая процедура называется
перенормировкой массы, электрического заряда и т. д.)
Мир связанных нелинейных осцилляторов
195
Для упрощения обозначений произведем подстановку
ef (<P)->f (<Р)- (5-2.6)
Для решения уравнения (5.2.5) мы изложим метод последовательных
приближений. Предложенный Колмогоровым и Арнольдом
и усовершенствованный Боголюбовым и другими авторами, этот метод сходится
очень быстро. Сначала мы будем действовать, не особенно заботясь об
обосновании (на "эвристическом" уровне строгости). Усреднив в низшем
приближении уравнение (5.2.5) по достаточно большому интервалу времени,
получим
-5*- - со + А + f. (5.2.7)
dt
Выберем в этом приближении
А = А0= -f (5.2.8)
так, чтобы решение, которое мы обозначим
Ф^<р(0), (5.2.9)
имело вид
<р(0) = <о^ + ф0. (5.2.10)
Контрчлен А мы выбрали так, чтобы приближенное решение
<р<0)
сохранило старые частоты со у. В обычной теории возмущений
мы,
подставив (5.2.10) в правую часть уравнения (5.2.5), получили бы
следующее, улучшенное приближение к решению ср(1):
d<p(I) ,
¦ - = (<о + А + f) + ? fmexp [im(atf+ <р0)]. (5,2.11)
at m^O
Решение q>(1) мы получим, проинтегрировав правую часть уравнения
(5.2.11):
4><1) = <o? + (p0+ Z (fm/(im-co))exp[im.((o^-f(po)]. (5.2.12)
m = 0
С разложением, стоящим в правой части (5.2.12), а именно с
f(1IP)= Z (fm/(im-<°))exP('ni-4r), 'Fsatf + cp,,, (5.2.13)
rn^O
нам уже приходилось встречаться в разд. 2.1.3. Было показано, что со
сходимостью выражения (5.2.13) возникают немалые трудности. Их удается
обойти, если частоты со удовлетворяют условию
196
Глава 5
Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ), которое мы запишем в виде
\т-ш\Ж\\т\Г(п+1), (5.2.14)
