Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
можем взять первые I строк матрицы (3.8.12), если не все коэффициенты а/
тождественно равны нулю. В противном случае мы можем выбрать другие /
строк и воспользоваться процедурой, описанной в разд. 3.6.2.
Кроме того, мы можем взять V (Г < I) векторов
(ах, а2, . . . , ат), (3.8,16)
таких, что (3.8.12) не обращается в нуль. Рассмотрим случай
наименьшей редукции (I = V). Обозначив векторы (3.8.16), для
ко-
торых величина (3.8.12) остается отличной от нуля, через
сА /г=1, . . . , I, (3.8.17)
а векторы, для которых (3.8.12) обращается в нуль,- через
A, k = l+1..................т, (3.8.18)
166
Глава 3
образуем совершенно новые решения уравнения (3.1.5)
qw=^af)q(/). (3.8.19)
По построению новые решения q(/f) (k = I -г 1, ... , т) имеют обобщенные
характеристические показатели, не превышающие Как показывают рассуждения,
аналогичные приведенным в разделах 3.1-3.7, матрица Ст - (G;>) (см. рис.
3.7.1)) приводится к виду
I m-l
0
Как и прежде, нетрудно показать, что at (т) обладают такими же свойствами
дифференцируемости, как в (3.8.12). Теми же свойствами дифференцируемости
коэффициентов в (3.8.12) обладают и в том случае, если рассматривать их
как функции не т, а ср (см. предыдущие разделы). Следовательно,
определяемые соотношением
(3.8.19) векторы q(/f) обладают теми же свойствами дифференци'
руемости, что и исходные вектор-решения q(,) (/, ср). Приведя матрицу СТ
к виду (3.8.20), мы можем продолжить нашу процедуру и привести матрицу
(3.8.20) к треугольному виду
(3.8.21)
Возникает вопрос, допускает ли матрица (3.8.21) дальнейшее упрощение, и в
частности нельзя ли ее привести к блочно-диагональному виду, в котором
отличные от нуля блоки стояли бы только на главной диагонали
(3.8.22)
О
О
Квазипериодические коэффициенты
167
Приведение к блочно-диагональному виду возможно при различных
обстоятельствах, например, если при t -> - оо обобщенные
характеристические показатели удовлетворяют соотношениям, обратным
соответствующим соотношениям (3.8.2). Однако треугольную матрицу (3.8.21)
можно привести к одному из видов (3.8.22), если каждый из блоков
приводится к диагональному виду. Но даже если матрица (3.8.21) не
приводится к блочно-диагональному и тем более к диагональному виду,
относительно вида матрицы решений Q (t, tp) все же можно высказать
некоторые общие утверждения, а именно: если известны матрицы решений,
соответствующие квадратным блокам Qj в (3.8.21), то всю матрицу Q (t, ср)
можно найти последовательно методом вариации произвольной постоянной.
Процедура аналогична изложенной в разд. 3.7, но вместо матриц q(y)
необходимо брать подматрицы Q(l} и т. д.
В заключительной части этого раздела мы хотим изложить теорему для
случая, когда все Xk равны.
Теорема 3.8.2. Примем следующие предположения:
1) матрица М (см. (3.1.4)) принадлежит по крайней мере классу Ск по ср;
2) Xk = k - 1, . . . , пг\
04 -htll It 'Т'Ч ~ II Лпт II гр-П п II
3) в 11 j х Ч || и е || Tt 4 ||
ограничены при поо, произвольном действительном т и всех
векторах q пространства решений уравнения Q = М (t, ср) Q, q,
принадлежащих классу С1 по ср (|| . . . || означает норму в гильбертовом
пространстве).
Тогда существует новый базис q, в котором оператор Тт -> Тт становится
диагональным:
TTq = e^Tq, X мнимые, (3.8.23)
если спектр оператора Тт, действующего на пространстве q (t, ф),
точечный.
В случае непрерывного спектра оператор Тт эквивалентен оператору Тт
"скалярного типа", т. е. Тх допускает представление
Tx=\e^E{dl), (3.8.24)
где Е - разложение единицы для Т%.
Доказательство теоремы 3.8.2 следует из нескольких теорем теории линейных
операторов. Мы приведем лишь формулировки этих теорем (см. ссылки) и
укажем, каким образом они позволяют доказать теорему 3.8.2. Из
предположения (1) теоремы 3.8.2 и леммы
3.2.2 следует, что q (t, ф) принадлежит по крайней мере классу
С1
по ф при - оо<Д<_' + оо. Следовательно, множество
решений
есть гильбертово пространство при - оо<Д< + оо.
Операторы Тх образуют абелеву группу. Как показано в разд. 3.7,
представление группы G операторов Тх при т-"-0 до-
168
Глава 3
пускает разложение 1 + тА (<р). Это означает, что и оператор Тт при т 0
можно записать в виде Тт = 1 + Лт, где А - инфини-тезимальный генератор
группы. Зная оператор Л, мы можем восстановить оператор Тт при конечных
т: Т% - ехр (Лт). Воспользуемся следующей леммой. Пусть G - абелева
группа ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Я. Тогда
существует ограниченный самосопряженный оператор в Я с всюду определенным
обратным оператором, такой, что для каждого А из G оператор, ВТтВ~1
унитарный.
Следовательно, введенная выше группа ограниченных операторов ехр (Лт)
эквивалентна группе унитарных операторов. По теореме Стоуна последняя
группа обладает инфинитезимальным оператором iA, где Л -самосопряженный
оператор. Итак, оператор Л эквивалентен оператору г'Л, причем матрицей
преобразования служит В. Поскольку в рассматриваемом случае Л и,
