Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
следовательно, Л не зависит от t и т, В также не зависит от t и т.
Следовательно, В описывает не зависящее от t и т преобразование векторов
q в другие векторы, также являющиеся решениями уравнения (3.1.5).
На заключительной стадии нашего анализа напомним, что Тт становится
унитарным оператором и, следовательно, по теории линейных операторов
спектральным оператором скалярного типа, поэтому Л и Тт представимы в
виде
Л = - \'{kE(dl) (3.8.25)
II
TT-+Tx=\e^E(di), (3.8.26)
где Е - разложение единицы для Л и (Тт). Если спектр точечный, то из
(3.8.26) следует, что
fTq==e*Tq.
Это уравнение решается так же, как уравнение (3.7.9).
В заключение заметим, что еще один класс решений удается
построить, если || T-j^q || возрастает как пш. В этом случае
реше-
ния имеют вид многочленов по I (степени не выше т) с квазиперио-дическими
коэффициентами.
3.9. Решение уравнения (3.1.1) методом последовательных приближений
В разд. 2.9, рассматривая дифференциальные уравнения с периодическими
коэффициентами, мы разработали процедуру, позволяющую получать решения с
помощью теории возмущений.
К сожалению, попытки непосредственного обобщения нашей про-
Квазипериодические коэффициенты
169
цедуры на случай уравнений с квазипериодическими коэффициентами
наталкиваются на трудности, связанные со сходимостью получающихся
разложений. Решение уравнений с квазипериодическими коэффициентами
удается построить с помощью быстро сходящегося метода последовательных
приближений (сходимость которых строго доказана). Основная идея метода
состоит в разложении матрицы М коэффициентов уравнения Q = MQ на сумму
постоянной матрицы А и матрицы М, квазипериодически зависящей от времени
t (М = А + М). Матрица М считается малым возмущением.
Сформулируем сначала основную теорему, а затем покажем, как можно
построить решение.
г"
Теорема 3.9.1. Пусть матрицы А и М удовлетворяют следующим условиям.
1) Матрица М периодична по ср/ и аналитична в области
| 1ш {ср} | = sup (I Im (фу) !} < Ро, р0>0 (3.9.1)
/
и вещественна при вещественных ф/.
2) Матрица М не содержит постоянных членов.
3) При некоторых положительных со/ и d выполняется неравенство
|(п, ю)|>е||п!Г<т+,\ II п || =/= 0, (3.9.2)
т. е. для любого вектора
п = (яь я2, . . . , nN) (3.9.3)
с целочисленными компонентами п,- выполняется условие Колмогорова-
Арнольда-Мозера.
4) Вещественные части собственных значений X матрицы А не совпадают.
Тогда найдется достаточно малая положительная постоянная К, такая, что
при
m
X \M]k\^K (3.9.4)
, k= 1
можно построить решение вида
VH + <f0)eA\ (3.9.5)
где V - квазипериодическая матрица, аналитическая и имеющая обратную
аналитическую матрицу в области
| Im {<р/} j < р0/2, (3.9.6)
Л - постоянная матрица.
170
Глава 3
Чтобы показать, как построить матрицы V и Л, начнем с уравнения
§ = U + A?(0]Q(0, (3.9.7)
где матрицы А и М удовлетворяют предположениям теоремы.
С помощью постоянной матрицы С приведем А к жордановой
нор-
мальной форме
J = C~MC. (3.9.8)
Поскольку по предположению вещественные части собственных значений
матрицы А различны, все собственные значения матрицы А различны.
Следовательно, J имеет чисто диагональный вид. Подставим
Q (t) = CQ (t) (3.9.9)
в (3.9.7). После умножения (3.9.7) слева на С-1 получаем
Q = [J + M0(t)]Q, (3.9.10)
где мы для краткости обозначили произведение
С-ШС (3.9.11)
через М0. Итак, требуется решить уравнение (3.9.10). Пусть
Q(0 = [l + ni(/)]Q1(0. (3-9.12)
где 1 - единичная матрица. Так как требуется построить решение вида
(3.9.5), матрицу U1 необходимо выбирать квазипериодиче-ской, а матрицу Qx
экспоненциальной функцией времени.
Реально матрицу Uг вычислить точно невозможно, поэтому мы обратимся к
методу последовательных приближений, но будем по-прежнему требовать,
чтобы была квазипериодической. Для Q1 мы получим тогда новое уравнение.
Оказывается, что при подходящем выборе уравнения для Uх уравнение для Qx
имеет такой же вид, как уравнение (3.9.10), с одним существенным
отличием: в новом уравнении матрица УИ0 заменяется другой
квазипериодической матрицей Мъ элементы которой меньше элементов матрицы
М0. Основная идея метода состоит в неоднократном повторении подстановки
(3.9.12).
Исходное уравнение (3.9.10) при этом приводится к виду, в котором роль
квазипериодической матрицы М (t) становится все менее ощутимой. Все этапы
вычислений станут более ясными, если мы проделаем их в явном виде. Итак,
подставляя (3.9.12) в (3.9.10), получаем
^iQi + [1 + Ui (01 Qi - JQi + JU 1Q1 + MoQi + M0HjQj . (3.9.13)
Квазипериодические коэффициенты
171
По причинам, которые станут понятными из дальнейшего, прибавим к правой и
левой части уравнения (3.9.13) по
и, кроме того, к правой части добавим нуль, записанный в виде
Матрицу определим как постоянную часть главной диагонали матрицы /И0. Мы
делаем это по чисто формальным причинам, поскольку матрицу Л40 всегда
можно построить так, чтобы ее постоянная часть была равна нулю. Однако
