Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(4.1.3) или (4.1.11) временной интервал стремится к нулю. Обобщая
уравнение (4.1.11), рассмотрим стохастическое уравнение вида
dqt (t) = Ki (q (0) dt + 2 glm (q (0) dwm (t). (4.2.1)
m
Постулируем, что
(dwm) = 0 (4.2.2)
и
(dwm (t) dwi (t)) = 8,mdt.
(4.2.3)
Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения 181
В отличие от (4.1.5) мы выбираем Q = 1, так как любое Q ф 1 можно учесть
с помощью подходящего выбора gim. Для того чтобы мы могли судить о
порядках величин, полезно иметь в виду следующее. Из (4.2.3)
напрашивается оценка
dwm~\dt. (4.2.4)
Хотя ее нельзя считать доказанной строго математически, она оказывается
весьма полезной при определении правильных порядков величин различных
степеней dw. Из (4.2.1) мы можем вывести уравнение для среднего значения
qt, взяв статистические средние от правой и левой части уравнения
(4.2.1). Так, для суммы, стоящей в правой части уравнения (4.2.1),
получаем
? {gim (Q (0) (/)) = ? {gim (q (/))) (dwm (t)). (4.2.5)
m m
Действуя в рамках предположения Ито о том, что вектор q, служащий
аргументом функции g, и dwm в (4.2.1) статистически некоррелированны, мы
разлагаем среднее значение последнего члена в произведение двух членов.
Из (4.2.2) находим
d{qi{t)) = {Ki{q{t)))dt. (4.2.6)
Формально разделив (4.2.6) на dt, мы приходим к уравнению Ито в следующем
виде:
jL{qiif}) = (Kliq (())). (4.2.7)
at
Вместо того чтобы следить за индивидуальной траекторией щ (t) каждого
члена статистического ансамбля, мы можем попытаться определить
вероятность найти переменную qi в заданном интервале [qi . . . qi
+ dqi \ в заданный момент времени /. Выведем
уравнение для соответствующей функции распределения
вероятности.
Пусть
u = u(q) (4.2.8)
- произвольная функция, не зависящая явно от времени. Образуем
дифференциал от и-,, т. е. du.j, с точностью до членов, линейных по dt.
Вспомним для этого, что dqi содержит две части:
dqi = dqitl-\-dqi, 2, где dqLl = 0(dt), dqt,2 = 0(\ dt ).
(4.2.9)
первая из которых происходит от когерентной силы К, а вторая - от
флуктуирующей силы. Следовательно, da/ необходимо вычислить до членов
второго порядка:
ди; , 1 'х-'- d2Uj
182
Глава 4
Подставляя (4.2.1) в (4.2.10), получаем
Ли'= У -TJ-\I<k(q)dt + 'Zgk!ndwin(t)l +
L-i dqk L m J
k
J_ 1 V d2"i Г У, gk, mgindwmdwn 4- О (dwdt)l 4.2.11)
2 kl m' П =0((Л)'-)
{мы опустили члены порядка (dt)'1-. Заметим, что
§кт §кт (q) > (4.2.12)
где вектор q не коррелирован с dw. Попытаемся теперь определить функцию
распределения. Схема наших действий станет более ясной, если
предположить, что мы выбираем дискретные значения времени Рассмотрим
отдельную траекторию, описываемую последовательностью переменных q/, w,-
при /=//,/ = 0, 1, . . . , i. Вероятность (плотность вероятности) найти
эту траекторию в совершенно общем случае определяется совместной
вероятностью
wt - W?_b tr, qi_i, Wf-! w,-2, 4-T, . . . , q0, w0, t0).
(4.2.13)
Интегрируя P по всем переменным q; и w/ при всех промежуточных значениях
времени k = 1, . . . , i-1 и по w(, w0, мы получаем распределение
вероятности f (q, 4 | q0, /0), q-q,. Это та самая функция, которую
требуется найти. Выведем для нее уравнение. Усредним (4.2.11). Усреднение
(...) означает, что обе части (4.2.11) мы умножаем на (4.2.13) и
интегрируем по всем переменным q*, w/;, кроме q0. Кратное интегрирование
значительно упрощается, если учесть, что мы рассматриваем марковский
процесс, в чем нетрудно убедиться, взглянув на (4.2.1), если дискретные
моменты времени выбраны по правилу Ито. Действительно, значения qi
определяются только значениями и dw,-. Это свойство "марковости"
позволяет нам записать вероятность Р из (4.2.13) в виде
¦Р = Рд (qo 4|w? - Wi-ь qi-i, li_i)-/5w(wi - Wi_b 4-x) X
X P (q;-i, Wi-! Wi-2, 4-b . . . , q0, w0, t0). (4.2.14)
В этом соотношении Pq - условная вероятность найти q = q( при t = ti,
если Aw = Aw? и q = q?_x при t - 4-i, a Pw (Awi, ti) - распределение
вероятности Aw при t - ti. Последний множитель есть совместное
распределение вероятности. Нам понадобятся обычные свойства нормировки:
(Ч*. 4|Aw*, q*_j., 4-0А* =1 (4.2.15)
и
j'Pw(Awft, tk)dnwk=l, (4.2.16)
где л - размерность векторов q и w. Теперь мы уже располагаем
Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения 183
всем необходимым для того, чтобы получить и обсудить средние от отдельных
членов в (4.2.11). Так как Uj зависит только от q = qIr кратный интеграл
по всем <\k, dwk (кроме q") сводится к
{uj)=\dnquj{q)f(q, t j q0, tQ), (4.2.17)
где мы воспользовались введенным выше определением /. Меняя
последовательность усреднения и описываемой оператором d временной
эволюции системы, с учетом (4.2.11) получаем
4
где нумерация членов введена для удобства последующего обсуждения.
Статистическая независимость qt-_г и Aw;, нашедшая отражение и в
разложении (4.2.14), позволила иам разложить средние (...) в правой части
в произведения (см. члены 3 и 4). Средние, содержащие q, имеют точно
такую же структуру, как
