Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
cp^erf + cpo, (5.2.40)
где для простоты можно выбрать <р0 = 0.
Подставляя (5.2.40) в (5.2.37), получаем решение исходного уравнения
(5.2.5)
Ф = (at + Г(1) (erf) + f [erf + f1;I) ((c)/)]. (5.2.41)
Если достаточно мала вектор-функция не f<2), а7<3), то
а"р(3)
-п- = (r). (5-2.42)
at
200
Глава 5
и, следовательно,
q>(3) = oK, (5.2.43)
отк уда
Ф(2) = ш/+ f{2)(at). (5.2.44)
Подставляя (5.2.44) в (5.2.37), получаем
ф(1) = ш/+ f (2) (О)/) + f(1) [((c)/+ f(2) ((c)/)], (5.2.45)
а возвращаясь еще на один шаг назад, приходим к окончательному результату
tp = at + f (2) (at) + f (1) [ш/ + Г(2)[(о) /)] + f [ш/ + f(2) ((c) /)] +
+ f(1) [">/¦+ f(2) ((c)/)]. (5.2.46)
На нем отчетливо видна структура решения (р. Оно содержит член, линейно
возрастающий со временем t. Следующие члены - квазипериодические функции
времени. Например, второй из них (f(1)) зависит от частоты, которая в
свою очередь является квазипериодической функцией времени. Ясно, что,
продолжая выполнять такого рода подстановки, мы в конце концов получим
решение <р в виде разложения в ряд по f(s). Кроме того, аргументы функций
f(s) также будут рядами. Сходимость последовательных приближений будет
доказана, если нам удастся убедиться в том, что при достаточно малой
начальной вектор-функции f ряд по f(s) сходится. В следующем разделе мы
рассмотрим некоторые из наиболее интересных аспектов свойств сходимости
вектор-функций f(s).
5.3. Некоторые соображения о сходимости метода последовательных
приближении
Полное доказательство сходимости метода последовательных приближений,
описанного в предыдущем разделе, здесь не приводится, поскольку подробное
доказательство сходимости решения более общей проблемы можно найти в
приложении.
Мы ставим перед собой более скромную цель: дать читателю общее
представление об основных идеях метода. Как будет показано, сущность его
сводится к поддержанию тонкого равновесия между двумя конкурирующими
процессами, один из которык способствует установлению сходимости, а
другой стремится ее нарушить. Начнем с леммы.
Лемма 5.3.1. Пусть f(<р)-функция, аналитическая в области
|1ш{фу}|<р, (5.3.1)
Мир связанных нелинейных осцилляторов
201
где р - некоторая положительная постоянная. В области (5.3.1) функция f
ограничена сверху постоянной М\
I f (q>) | < М. (5.3.2)
Тогда для функции
f (ф)= XI (fm/tni-<o)exp(tm-<p) (5.3.3)
m = 0
в области
| Im (фу) | < р-26 (5.3.4)
справедливо неравенство
11 (Ф) | < ---------- • (5.3.5)
1 к s2n+I
Здесь С ¦- скалярная постоянная, зависящая от размерности п вектора ф:
С= (1 +еТ- (5-3.6)
Функция (5.3.3) аналитична в области (5.3.4). Постоянная М вводится в
(5.3.2), постоянная К входит в условие КАМ (5.2.14), б - положительная
постоянная, о выборе которой будет сказано ниже. Аналогичным образом
выводится неравенство
df(q>)
k ¦ аф*
< J*?L -L_, (5.3.7)
^ К ё2п+2
где постоянная С' определяется выражением
С'= (Л±^~у + 2 (1+е)п. (5.3.8)
Покажем, каким образом можно доказать неравенства (5.3.5),
(5.3.6). Те, для кого это не представляет особого интереса, могут
пропустить наши объяснения и перейти сразу к формуле (5.3.30). Разложим
функцию f (ф) в ряд Фурье. Коэффициенты Фурье определяются по хорошо
известной формуле:
, 2Л 2Я _.
= • • • .ff(0)e dQt. . . d0". (5.3.9)
(2я)" 0 о
Интегрирование по углам 0 можно интерпретировать, как интегрирование по
комплексной плоскости, где z - г exp (t0), г = 1.
Из теории аналитических функций (a f - аналитическая функция) известно,
что контур интегрирования можно как угодно деформировать, лишь бы он
оставался в области, в которой функция
202
Глава 5
f аналитична. Это позволяет заменить правую часть в (5.3.9) выражением
2я 2я
--- J . . . f f (0 + /Ф)ехр[ - 1т(е + 1Ф)]й@х . . . dSn. (2п)" о 0
(5.3.10)
Выберем теперь отдельные компоненты <р/ вектора Ф следующим образом:
Ф/= - psign {trij}. (5.3.11)
Тогда
m-q>=-р || m||, (5.3.12)
где
I! m || = | тг | +1 1 + . . . + |т"|. (5.3.13)
Коэффициенты Фурье (5.3.9) удовлетворяют неравенству (см.
(5.3.2))
I /п, | < Л1 ехр (-р || m II). (5.3.14)
Выберем мнимую часть ф;- так, чтобы
|1т{ф7}|<р-26. (5.3.15)
Исходя из разложения (5.3.3), получаем для 7 (ф) оценку
П(ф)1< У ".1/от1, ехр[||т||(р-26)] (5.3.16)
Lmt | т (c) |
т=^о
(каждый член ряда мы заменили его абсолютной величиной и воспользовались
неравенством (5.3.15)). Из условия КАМ (5.2.14) и неравенства (5.3.14) мы
заключаем, что
I * (Ф) I < -^-ZllmHn+lexP(- 261| m ||). (5.3.17)
A m
Сумму по m нетрудно оценить следующим образом. Запишем
?||m||v ехр (-261| m ||), ГО (5.3.18)
где
0<6< 1, v> 1, (5.3.19)
и обозначим для краткости
II т|| =2. (5.3.20)
Максимум
v In 2-62 (5.3.21)
при г> \ (т. е. при |т||>1) достигается при
(5.3.22)
Мир связанных нелинейных осцилляторов
203
Неравенство (5.3.22) позволяет получить для (5.3.21) оценку
Взяв экспоненты от обеих частей неравенства (5.3.23), получим после
несложных преобразований
Сумму по m можно записать в виде п-й степени бесконечной суммы по одной
