Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(4.2.17): они содержат переменную q при единственном значении времени i =
\. Как показывает беглый прямой анализ, среднее можно опять заменить
интегралом по q. Взяв производную от
(4.2.18) по времени /, мы опять получим из (4.2.17)
~p- = [dnqUj(q)--^-f(q, t \ q0, t0)- (4.2.19)
dt J dt
Выражения, стоящие в (4.2.18) под знаком суммы в члене 2, перейдут в
(^^L. Kk(<\)) = \dnq[-^L Kk(q)]i (q, 11 q0, t0). (4.2.20)
Проинтегрировав по частям по координате <?*, преобразуем (4.2.20) в
-\dnqUj{q)-^-lKk(q)f(4, ^ i 4o, *o)l (4.2.21)
J dQk
(вненнтегральный член равен нулю, так как по предположению функция
распределения / и ее производные на границе обращаются в нуль). Член 3
равен нулю, поскольку q и dw некоррелированны (что позволяет
факторизовать среднее) и (dwm) = 0 в силу
(4.2.2). Последний член в правой части (4.2.18) (член 4) можно
преобразовать по аналогии с тем, как мы преобразовали член,
(4.2.20), но дважды интегрируя по частям. Каждое слагаемое под
184
Глава 4
знаком суммы в члене 4 переходит при этом в
( " "ГТ~ gkmgm) =4" ^ dnqu,j (q) - lgkmg,mf{q, 11 q0, <")].
\ 2 Oqkdqt / 2 j dqkdqt
(4.2.22)
Сравнивая выражения, получившиеся после преобразований из членов 1, 2 и 4
в (4.2.18), нетрудно заметить, что все они однотипны, а именно имеют вид
\dnquj{q)[ . . . ]/(q, * | q0, /0), (4.2.23)
где квадратные скобки могут содержать дифференциальные операторы.
Поскольку эти выражения входят в обе части уравнения
(4.2.18) и Uj - произвольная функция, мы заключаем, что уравнение
(4.2.18), в котором члены 1, 2 и 4 заменены соответствующими выражениями,
должно выполняться, даже если отбросить интегрирование по dnq и множитель
Uj (q). Так мы приходим к уравнению
(4.2.24)
Это уравнение типа Фоккера-Планка связано со стохастическим уравнением
Ито (4.2.1).
4.3. Исчисление Стратоновича
В этом исчислении вектор q, входящий в качестве аргумента в функцию g,
берется в серединах временных интервалов Ui_1( /;], т. е. рассматриваются
выражения вида
gim (q L)) dwm (ti). (4.3 1)
(Здесь и далее по немым индексам проводится суммирование.)
Правило Стратоновича без труда обобщается на случай, когда функция g явно
зависит от времени t: вместо t в нее следует подставить середины
интервалов [/;_!, С]. Необходимо иметь в виду два обстоятельства.
1) Подстановка определения (4.3.1) в исходное уравнение Ито порождает
новый стохастический процесс.
2) Тем не менее процессы Ито и Стратоновича тесно взаимосвязаны, и от
одного из них к другому можно переходить с помощью простого
преобразования. Проинтегрируем формально уравнение Ито (4.2.1), суммируя
отдельные шаги и переходя затем к интегралу. Тогда из (4.2.1) мы получим
t t
qi(t) = qi(t0)+^Ki(q)dt'+ | glm (q) dwm (t'). (4 3.2)
Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения 185
В (4.2.3) интеграл Ито означает, что аргумент q функции gim берется при t
непосредственно перед флуктуацией dwm. Интеграл Ито мы обозначили
(4.3.3)
Рассмотрим теперь процесс, приводящий к такой же функции щ (/), как и в
(4.3.2), но по определению Стратоновича:
t t
Qi (0 = Qi (t0) + ^ Ki (q) dt' + ^ ~glm (q) dwm (tr). (4.3.4)
to h
Покажем, что к (4.3.4) приводит надлежащий выбор новой вынуждающей силы К
и новых множителей gim (в действительности, как мы увидим, нам
понадобится ввести только новую силу К, a g можно выбрать по-старому: g =
g). Под интегралом Стратоновича
| (4.3.5)
мы понимаем здесь предел суммы членов (4.3.1), т. е. s gim (q) dwm (С) =
lim V g,m (ч ( ^ *2+ ")) ^Wm ^ ~~Wm
N-+oe t-r*
(4.3.6)
где А/->-0иЛ^->-oo так, что N At - t-10. Вводя дополнительный член,
содержащий
(4'3'7)
мы получаем в правой части (4.3.6) (до перехода к пределу)
? *. (я (^)) [".".)-". (-^)] +
г=1
+ ? gtm (q )) [wm ' (4-3-8>
i - 1
Пусть
q (-^t'~12+ U ) = 4 (Vi + A^bL) = 4 Vt-i) + ifi-i) I4-3-9)
и
Ai_ ti-ti_! (4.3.10:
186
Глава 4
Так как q (t) удовлетворяет уравнению Ито, получаем для (4.3.9)
Я (~~12-) = Ч Vi-i) + к q (T--i)) ti~t21-1 + g [q (^_i)] x
x[w(^l_L^)_w(^._i)j. (4.3.11)
Разлагая gim no (4.3.10) и удерживая только члены порядка dt, получаем
71 ("( + 7г \\ I ti ti-х __
2-------)) = Slm (q (tf--l)H-gj--2---
_l_ Г °4lm (Q {ti - l)) V (" ft \\ I 1 d2gim (q (ti-i)) "
/" n \\ 4/
+ L-------------Wk-Kk (q + ~2---Щ--------gk? (q x
X giP (q tt-i))] SkP (q ft-i)) x
X (4.3.12)
Второй член в правой части встречается в том случае, если gtm зависит
явно от времени. С помощью подстановки (4.3.12) преобразуем интеграл
(4.3.6) к виду
1=1
4- gim (q (T-i)) [wm (-- m (Д^~" x
1=1 ?- 1
X gkp (q (T-!)) [wm (YL^L')-wm (С_0]2 Ьтр + О (AtAw). (4.3.13)
Взглянув на (4.3.13), можно заметить, что первые две суммы, взятые
вместе, определяют интеграл Ито. В этом нетрудно убедиться следующим
образом. Первая сумма описывает вклад от dwm за
интервал времени от (^_1+ ti)/2 до С, а вторая - за интервал
времени от ?i_1 до (?;_! + ti)/2. Следовательно, взяв оба интервала и
просуммировав по i, мы получим полный временной интервал. Третья сумма по
