Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 60

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 152 >> Следующая

матрица G была диагональной, т. е. можем выбрать векторы (3.7.1) в виде
q(/)(/ + T, Ф + т) = Оц (т, ф)^(;) (t, ф). (3.7.49)
Соотношение (3.7.49) можно рассматривать как функциональное
уравнение для q(/). Такое уравнение нам уже приходилось решать (см.
(3.7.16)). Его решение имеет вид
q(/) (t, ф) = ехр J doaj (ф - о) j w(,) (0, ф +1).
(3.7.50)
Квазипериодические коэффициенты
163
Если предположения (1) - (6) теоремы 3.1.1 выполнены, решение (3.7.50)
представимо в виде
и, следовательно, квазипериодичен по t. Решение (3.7.51) имеет в точности
такой вид, как утверждалось (см. (3.1.20)). (Ясно, что Re \kjJ -
обобщенный характеристический показатель А,/.)
3.8. Общий случай: некоторые обобщенные характеристические показатели
совпадают
В этом разделе мы изложим две теоремы. Первая теорема относится к
приведению матрицы С из (3.1.18) к треугольному виду для случая, когда
обобщенные характеристические показатели совпадают. Вторая теорема
показывает, что матрицу С можно привести даже к диагональному виду, если
все характеристические показатели совпадают и принято дополнительное
предположение о скорости роста | q(,) |. Первая из этих теорем
формулируется следующим образом.
Теорема 3.8.1. В предположениях (1), (2), (4) теоремы 3.1.1 при
подходящем выборе вектор-решений q(,) (t, ср) матрица С приводится к
треугольному виду (см. (3.7.1)):
где блоки соответствуют обобщенным характеристическим показателям Л/,
которые различны. Каждый блок имеет размеры не более rrij X nij, где nij
- степень вырождения А/. Элементы матрицы С (т, ср) дифференцируемы по т,
Ту-периодичны по фу и принадлежат (по крайней мере) классу С0 по ср. Если
помимо предположений (1), (2) и (4) выполняется также предположение (5)
теоремы
3.1.1 (при Xj Ф А*), то элементы матрицы С (т, ср) принадлежат (по
крайней мере) классу С1 по т, Т/-периодичны по ф/ и принадлежат классу Ck
по ср.
Наметим общий ход построения матрицы С.
Пусть обобщенные характеристические показатели А у перенумерованы в такой
последовательности, что
(3.8.1)
О
Если
Ai7>A2!> . . . > Xk к* Ay,^_j,
Aj > А2 > . . . >ГА,
'ГП •
(3.8.2)
(3.8.3)
164
Г лава 3
то по крайней мере вплоть до к^ мы можем придерживаться нашей предыдущей
схемы приведения матрицы С к стандартному виду.
Перейдем к случаю, когда несколько обобщенных характеристических
показателей совпадают. Предположим, что кг имеет степень вырождения /, т.
е.
Ч = л2 = . . . -= к/. (3.8.4)
Как н прежде, будем считать, что все векторы q линейно независимы и утлы
между ними отличны от нуля даже при t -> -f оо. Введем нормирующий
множитель (см. (3.5.3), (3.5.4))
¦^[X|q"Ч Фо + т)|2]-12 (3-8.5)
и образуем векторы
Л Фо ~Ь т) = q.l/) (L Фо + т). (3.8.6)
Определим
Lim Sup. (3.8.7)
t - оо
Выберем для этого последовательность t - in, tn.-*- оо, такую,
чтобы по крайней мере для одного из векторов q(/> и некоторого
положительного е выполнялось неравенство
-'-Ini q(" {tn, Фо-гт) I > к1 - е>Х/+1. (3.8.8)
hi
Поскольку излагаемая сейчас процедура представляет собой непосредственное
обобщение процедуры, рассмотренной выше для случая невырожденных к,
опишем лишь общий ход ее, не останавливаясь на деталях. Не претендуя на
строгость, можно сказать, что при (">L величиной
т
"Г Z Dikqw (t+т, ф0)ехр[ - гЛ(т)] (3.8.9)
ft=/+1
допустимо пренебречь по сравнению с величиной
i
Л" X Djkqw(1 + T, фо) ехр [- г*(т)], (3.8.10)
*= I
или, точнее,
i
Lim Sup {%{l) (t, фо-г-т)! = X Djk (г) Lim Sup \jf {t + x) exp [zk (i+i)-
t oo k- 1 t-roo
-zk(T)]uw(t + T)}. (3.8.11)
В Lim Sup мы выбираем все последовательности tn такими, чтобы по крайней
мере один из векторов q(;) удовлетворял неравенству
Квазипериодические коэффициенты
165
(3.8.8). Заметим, что такие последовательности могут зависеть от т.
Образуем
m
2 а;-(т) Lim Sup (х°А <р0 + т)} (3.8.12)
/=1 t-> оо
и выберем коэффициенты а,- так, чтобы выражение (3.8.12) обратилось в
нуль.
Используя явный вид векторов %{i) и 3.8.12, получаем
/ ТП
2 2 (т) (т) Lim Sup (yf К + т) exp [zk (t + т)-Zk (т)] X
';=1/=I f-* оо
X u (Т + т)} = 0, (3.8.13)
(k)
а так как векторы и линеино независимы, мы получаем
m
2 "у (т) Djk (т) Lim Sup ) Л3 К + т) ехр [г* (/ + т)-zk (т)] и{к) (t +
т)} = 0.
}=\ i-юо
(3.8.14)
Индекс k в (3.8.14) принимает значения от 1 до /.
Итак, мы нашли I уравнений для m неизвестных а/. В этом проще всего
убедиться, если заметить, что уравнениям (3.8.14) можно удовлетворить в
том и только в том случае, если
m
2 ОС; (т)(т) = 0 при /2=1, ...,/. (3.8.15)
/=1
Из (3.8.15) следует, что а/ могут быть выбраны независимо от t, С другой
стороны, свойства дифференцируемости элементов матрицы D (т) неизвестны,
поэтому предпочтительнее вернуться к
(3.8.12) с хорошо известными свойствами дифференцируемости
коэффициентов a j (т). Существует (по крайней мере) m-I линейно
независимых вектор-решений а - (ах, . . . , ат) уравнений (3.8.15).
Для того чтобы условие разрешимости выполнялось даже при конечных t", мы
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed