Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
обладающих следующим свойством: вектор-решение q(,) принадлежит (по
крайней мере) классу С1 по t и т и квазипериодично по т.
В предположениях (1) - (5) мы построили полную систему решений уравнения
(3.1.5)
q(/> (t, ф), _ (3.4.16)
обладающих следующим свойством: вектор-решеиие q0) принадлежит (по
крайней мере) классу С1 по /, Г/-периодично по ф/ и принадлежит классу Ск
по ср. Множество q<;)(/, фг) всюду плотио в множестве q0)(/, ф). В
(3.4.15) и в (3.4.16) обобщенные характеристические показатели (при t ->-
+ оо) векторов q(/) равны А,/.
3.5. Построение треугольной матрицы С и доказательство
квазипериодичности ее элементов по т, а также их периодичности по ф, и
принадлежности классу С* по ф (для матрицы шхяг все % различны)
До сих пор мы рассматривали частный случай, когда матрица 2x2. Обратимся
теперь к общему случаю, когда М - матрица т X т, по-прежнему предполагая,
что все характеристические по-
Квазипериодические коэффициенты
149
казатели различны:
. . . >Lm. (3.5.1)
Требуется построить линейные комбинации векторов q(,) (/, ф(|-т) вида
1(0
0\ Фо -т. т) -¦== X а? (т) q(,) (t, Фо -т), /=], • • • ,
т,
(3.5.2)
такие, что лишь одна из них имеет обобщенный характеристический
показатель а т-1 остальных линейных комбинаций имеют самое большее
обобщенный характеристический показатель Х2.
Кроме того, докажем, что в качестве а{;) можно выбрать квази-
периодическую функцию от т, или, точнее, что а)1) (т) можно вложить в
множество функций а'^ф), Т/-периодических по ф/ и принадлежащих классу Ck
по ф. Для простоты условимся в дальнейшем отбрасывать индекс /.
Введем нормирующий множитель
[tn "j - 12
Е ! q0> (f, Фо- т)!2 J (3.5.3)
и образуем векторы
Х(,)(^ Фо - т) = .АД/1, Фо - T)q0>(/, Фо -т). (3.5.4)
Используя соотношения (3.1.1 1), (3.2.32), (3.2.33), мы можем заменить
правую часть в (3.5.4) выражением
ЕсИК, Фо-T)Dyfe(T)exp[z*(/ + T) - zk(x)]uk (t + т). (3.5.5)
k
Обратимся вновь к последовательности оо, заданной соот-
ношением (3.4.10). Обозначим такую последовательность Lim Sup.
Нетрудно видеть, что справедливо равенство т- с Г (/> и И т •
с ( 0/iO*)u<1,0 + i) )
Lim Sup Lx V, Фо-T)J = Lim Sup j-^-------------------- [
? ID/.WI'l
/=i J
(3.5.6)
,12
_ DuWF
./=i
которое можно представить также в виде
-LimSup |u(1)(/ +т)). (3.5.7)
[ ? I °i1 (т) i2 ]
1 2
t-> oo
150
Глава 3
Если коэффициенты а у (т) линейной комбинации (3.5.2) удовлетворяют
уравнению
1>Д(/) = 0, (3-5.8)
/
где все векторы |(;), как следует из (3.5.7), параллельны, то мы можем
определить tn-1 линейно независимых векторов-решений
а(1) = а(21\ . . . , а.%), 1 = 2, . . . , т (3 5.9)
(каждый из которых удовлетворяет уравнению (3.5.8)).
Если в линейные комбинации (3.5.2) входят а из (3.5.9), то вектор q<J) в
(3.5.2) имеет обобщенный характеристический показатель, заведомо не
превышающий К2. Выбирая =/= 0 в качестве
/
любой отличной от нуля компоненты вектора |(;), мы можем построить q(l) с
обобщенным характеристическим показателем Покажем теперь, что в качестве
а у (т) можно выбрать квазипе-риодическую функцию параметра т или что а;-
(т) можно даже вложить в a j (ср). Заметим, что по построению (см.
(3.5.6)) вектор-функции квазипериодичны по т и могут быть вложены в
множество вектор-функций 1(/)("р), Г/-периодических по ф/ и принадлежащих
классу Ск по ср. В предположении (5) теоремы 3.1.1 Lim Sup сходится
равномерно по т к правой части (3.5.7), что делает взаимозаменяемыми
операции Lim Sup и вложение всюду плотным образом ?(/) (т) в 1(;)(ср).
Линейная алгебра позволяет построить вектор а(!) так, чтобы он обладал
такими же свойствами дифференцируемости и периодичности, как и
коэффициенты
Поскольку подробное изложение этого построения увело бы нас слишком
далеко в сторону от нашей основной линии, мы ограничимся лишь тем, что
укажем, как наглядно представить себе все производимые операции.
Рассмотрим одну компоненту векторного уравнения (3.5.8) (в котором (см.
(3.5.7)) все векторы |<;) параллельны). Образуем вектор | = (l*1*, \(k ,
. . . , ?im))> гДе индекс k выбран таким образом, чтобы | Ф 0 (такой
выбор всегда возможен). Тогда соответствующую компоненту векторного
уравнения (3.5.8) можно представить в виде
ct| = 0, (3.5.10)
т. е. как скалярное произведение вектора % и вектора ос, или сс(г),
определяемого равенством (3.5.9). Иначе говоря, мы хотим найти т-1
векторов ес<;>, 1 = 2,..., т, линейная оболочка которых образует линейное
векторное пространство, ортогональное вектору Непрерывно ("плавно")
изменяя направление вектора |, мы можем непрерывно изменять векторы из
пространства, ортогонального вектору (Непрерывное (оно же плавное, или
гладкое)
Квазипериодические коэффициенты
151
преобразование, изменяющее направление вектора можно заменить
преобразованием класса Ck.) Простой пример алгебраической конструкции
приводится ниже.
Из педагогических соображений необходимо добавить одно замечание:
представляется весьма соблазнительным разделить (3.5.8) на общий
