Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
"множитель" Lim Sup {u(I) (tn + т)}. Однако наша попытка осуществить
такое намерение наталкивается на препятствие: не доказано, что D;1 (т) и
множитель Lim Sup в отдельности обладают требуемыми свойствами
дифференцируемости по т (или <р). Итак, делить уравнение (3.5.8), в
которое через %(,) входит (3.5.7)> на Lim Sup {u0) (tn -j- т)} не
следует. Если требуется исключить
ос
u(i), то можно составить величины
Lira Sup <Fo-t)} = ii/a(t), (3.5.11)
t^-oc
Ck по ф
где r\jk (t) 6 Ck no t, если M e Ck по ср, Если множество cp0 - r всюду
плотно на торе, то (3.5.11) можно вложить в множество функций,
принадлежащих классу Ck по ср и Гу-периодических по ф/. Тогда, вычисляя
(3.5.11) по аналогии с (3.5.6), мы получаем
-т Д/1(т---Dki (т) | и(,) (/ + х) и(1)' (/ + т) |. (3.5.12)
I Л/х (*)!*) ".
Векторы и(1) выпадают. Нам нужно построить новые линейные комбинации
(3.5.2) с характеристическим показателем, не превышающим 72. Потребуем
для этого, чтобы при k = 1, . . . , т
т
Z а/(т)л/*(т)=0. (3.5.13)
/= I
Введем векторы
П* = (Hi*, Tl2fe, • • • , Чтк) {k=\, • • • , т). (3.5.14)
Из (3.5.11) видно, что в пределе при t -> оо все этн векторы па-
раллельны.
Кроме того, введем (3.5.9), чтобы (3.5.13) можно было представить в виде
= (3.5-15)
Так как все векторы % параллельны, условию ортогональности
(3.5.15) могут удовлетворять т-1 различных (линейно независимых)
векторов а. Выбирая их, мы получаем m- 1 новых решений
(3.5.2), или, в более общем плане, можем осуществить вложение
~qu\t, (р) = Zce}V)(/> <р). (3.5.16)
152
Глава 3
Хотя при некоторых или даже всех т часть векторов r\k могут обращаться в
нуль, в силу принятых нами допущений по крайней мере один вектор должен
быть отличен от нуля.
Как уже упоминалось, векторы а из (3.5.15) всегда можно выбрать так,
чтобы они обладали такими же свойствами дифференцируемости по параметрам,
как и векторы щ. Проиллюстрируем это утверждение на простом примере при
четном т. Пусть
"/ = П Л/Д-1)''- (3.5.17)
I i
Как нетрудно убедиться прямой подстановкой, вектор а с такими
компонентами удовлетворяет условию ортогональности (3.5.15) и обладает
такими же свойствами дифференцируемости, как щ. Если один из векторов щ
обращается в нуль, то, умножая осу на определенный множитель, мы можем
перейти к другому вектору r\k.
Краткие выводы. Мы показали, как построить новые решения q исходного
уравнения (3.1.5), обладающие следующими свойствами. Одно из решений
имеет обобщенный характеристический показатель все остальные т-1 решений
имеют обобщенный характеристический показатель Х2 или еще меньше.
Проделав аналогичную процедуру с оставшимися т-1 решениями, мы можем
выделить одно решение с обобщенным характеристическим показателем Х.2 н
т-2 решениями с обобщенным характеристическим показателем, не превышающим
Х-Л. Продолжая отщеплять по одному решению, мы в конце концов придем к
треугольной матрице С (более строго это утверждение будет доказано в
разд. 3.7).
Так как исходные вектор-решения q(y) принадлежат классу Ск по ф и Ту-
периодичны по фу, а коэффициенты а можно построить так, чтобы и они
разделяли эти свойства, полученные нами новые решения принадлежат классу
Ск по ф1 и Ту-периодичны по ф.
3.6. Приближенные методы. Сглаживание
Сделаем два замечания относительно возможных приближенных методов.
3.6.1. Вариационный метод
Вместо условия ортогональности (3.5.15) мы можем потребовать также, чтобы
т
Zi"%l2 = o. (3.6.1)
k--=\
Если в схеме аппроксимации предельный переход Lim Sup
Квазипериодические коэффициенты
осуществляется не полностью, а лишь до t = то
"П/ft (т) ->¦ Л/* (т, (3.6.2)
и мы не можем удовлетворять условию (3.6.1) точно, поскольку векторы
(3.6.2) не строго параллельны. Однако вполне допустимо потребовать, чтобы
выполнялись условия
m
X I "Л* I2 = Минимум! | а |2 = Заданное значение. (3.6.3)
ft=~-1
Задаваемый ограничениями (3.6.3) вариационный принцип приводит к системе
уравнений на собственные значения
пг
X Л/ft ("Л*) = ^а/. / = 1, • • ¦ , т, (3.6.4)
Аг = 1
линейных по к. Умножая (3.6.4) на а* и суммируя по /, получаем
т
X (аЧ*) (аЛ*) = ^1" I2• (3.6.5)
k=l
Таким образом, собственные значения К могут служить своего рода мерой
отклонения от точного уравнения (3.6.1).
&
3.6.2. Сглаживание
Так как векторы !*, или, что эквивалентно, л* (при фиксированном k), в
(3.5.15) могут иногда обращаться в нуль при некоторых т, возникает
необходимость перехода к другому соотношению ортогональности, записанному
для другого вектора Л/ (или |;). Если в Lim Sup мы не выполним предельный
переход оо, то старый и новый векторы л могут не вполне совпадать. Это в
свою очередь означает, что при тех т, в которых мы вынуждены совершать
переход от одного вектора т] к другому, вектор а перестает быть
непрерывным и дифференцируемым. Покажем, что разрыв в точке перехода
легко можно сгладить. Введем для этого новый вектор
Лй = П - Ж]Л* + Р(т)Л/(т), (3.6.6)
где р (т) - функция, график которой качественно представлен на рис.
