Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
оказываемся на переднем крае математических исследований. Матрицы решений
Q (/) мы будем классифицировать по их трансформационным свойствам.
Принадлежность Q (/) к одному из классов, как будет показано, влечет за
собой представимость вектор-решений в виде (3.1.3). Чтобы исследовать
трансформационные свойства, введем оператор сдвига Т.
Нетрудно убедиться, что оператор сдвига Т, о котором мы говорили в гл. 2,
неприменим непосредственно к рассматриваемому нами случаю, но следующая
процедура приводит к желаемому результату. Рассмотрим уравнение (3.1.1)
как частный случай более широкой системы уравнений, в которую вместо
матрицы (3.1.2) входит матрица
м У, Ф) = Z Мп п " ехрр'со^ - ф! + /) +
п1< п2.....nN
+ tC02n2( - Ф2 + 0+ • ¦ ¦ - fN+Ob (3.1.4^
Квазипериодические коэффициенты
137
содержащая фазы <рь ср.,, . . . , <pN. Иначе говоря, решение матричного
уравнения (3.1.1) мы заменяем решением более общего матричного уравнения
Q(t, = V)Q(t, ф). (3.1.5)
Введем оператор сдвига
Тт:(^ + Т (3.1.6)
{ Ф-+Ф + Б т = те,
где т - произвольный сдвиг, а е - вектор (1, 1, . . . , 1) в ф-про-
странстве. Ясно, что матрица М инвариантна относительно (3.1.6), или, что
то же, коммутирует с Тт:
ТХМ = МТХ. (3.1.7)
Из (3.1.7) следует, что
TxQ(t, Ф) (3.1.8)
- решение уравнения (3.1.5) (если Q (t, ср) удовлетворяет этому
уравнению). Следовательно, должно выполняться соотношение
TxQ(t, ф) = Q(C ф) С (т, ф) (3.1.9)
(см. теорему (2.4.1), где С (т, ф)- матрица, не зависящая от t. Трудность
состоит в том, что матрица С зависит от т и ф. Записывая левую часть
уравнения (3.1.9) в более подробном виде, приходим к соотношению
Q(^ + T ф + т) = <2(/, ф) С (т, ф). (3.1.10)
После этих предварительных замечаний сформулируем теорему 3.1.1,
доказательство которой будет приведено ниже.
Теорема 3.1.1. Примем относительно (3.1.4) и (3.1.5) следующие
предположения.
1) Отношения частот сох, ... , coN иррациональны (в противном случае мы
могли бы выбрать меньший базис частот).
2) Матрица М (t, ф) = М (0, ф-t) является Т/-периодической по фу (Ту ==
2л/ соу) и принадлежит классу С по ф {k 0) (т. е. k раз непрерывно
дифференцируемая по ф).
3) При некотором Ф = ф0 все обобщенные характеристические показатели Я/
вектор-решения q0) (t, ф0) (/ = 1, . . . , m) различны. Будем считать,
что Яг>>Я2;> . . .
4) Вектор-решение q(,> можно представить в виде
qW(*. Фо) = ехр [г,- (0] u(,) (0, (3.1.11)
где | u(,) (/) | = 1; Zj - вещественнозначные функции времени (/ = 1, . .
. , m) и связаны Я/ соотношением
138
Глава 3
Потребуем, чтобы при всех t выполнялось неравенство
| det u(/) (Y) |>d01> 0. (3.1.13)
Из него следует, что минимальные углы между единичными векторами и (/)
сохраняются при всех t, т. е. векторы и ни при каком t не становятся
линейно зависимыми.
5) Функции Zj (t) обладают следующими свойствами: существует
последовательность tn (tn оо), такая, что
I--:-2у(/я + т)-1 <1! (3.1.14)
I lfi + г !
И
-~- [г/ (А -Г т) Zj (т)] > --- [zj+1 (tn +т) - г/+1 (т)] + 62, tn 4- т
tn + x
(3.1.15)
где
6х>0, 62>0, /=1,2, . . . , т- 1 и т > 0. (3.1.16)
(Условия (3.1.14) и (3.1.15) выполняются, в частности, для
любой
последовательности если
Zj{t) = 'kjt + Wj{t) (3.1.17)
при условии, что функции Wj (t) ограничены.)
6) Частоты со удовлетворяют условию КАМ (см. (2.1.20)); число k в
предположении (2) надлежащим образом выбрано.
Тогда справедливы следующие утверждения,
а) Если выполнены предположения (1) - (4) при k > 0, матрицу Q (/, ф)
можно выбрать так, что матрица С в
T%Q(t, <p)=Q(*, q>) С (х, Ф) (3.1.18)
будет треугольной, т. е.
с коэффициентами, квазипериодическими по т.
б) Если выполнены предположения (1) - (5), то элементы матрицы С
принадлежат классу Ск по Ф и являются ^-периодическими по ф,¦ (Tj =
2л/со/).
в) Если выполнены предположения (1) - (6), то матрицу С можно привести к
диагональному виду, а решения q(/> выбрать так, чтобы
q<" = e*/V'>(/, Ф), Ее|М=Х/, (3.1.20)
Квазипериодические коэффициенты
139
где v(/) - вектор, квазипериодический по t и Ту-периодический по ф/,
принадлежащий классу Ck по "р.
В частности,
Txvli)(t, Ф) = v(/)(/, Ф), (3.1.21)
т. е. вектор vu) инвариантен относительно Тх.
В разд. 3.8 мы приведем обобщение теоремы 3.1.1 на случай,
когда некоторые из X совпадают.
Доказательство теоремы 3.1.1 разбито на ряд этапов. Им посвящены разд.
3.2-3.5 и 3.7. (В разд. 3.6 мы излагаем приближенные методы построения
решений q(/), связанные с идеями доказательства.) Сформулировав и доказав
в разд. 3.2 несколько вспомогательных теорем (лемм), мы сначала
доказываем, что матрица С приводима к треугольному виду (для случая
матрицы 2x2 - в разд. 3.3, для случая матрицы m X m - в разд. 3.5). Это
позволяет выбрать q(/) (t, ф) так, чтобы при всех ф выполнялись
неравенства Х1еХ2С . . . Хт. Затем мы доказываем, что элементы
треугольной матрицы С можно выбрать в соответствии с утверждениями "а" и
"б" теоремы 3.1.1 (для случая матрицы 2 X 2 -в разд. 3.4, для случая
