Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 54

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 152 >> Следующая

тор q<!) в явном виде:
Ч0)(^ Фо -т, x)^(|D11(x)|2 + |D21(T)|2)l2e-P(T)q(1>('' + P ф0) + -У
Члены, содержащие q(2) (^ -f- х, ср0). (3.3.11) (И в этом случае Dn (т) и
D21 (т) не могут обращаться в нуль одновременно, так как в противном
случае векторы-решения q(;) (i, Ф"-т) вопреки предположению стали бы
линейно зависимыми. Следовательно, коэффициент перед q(1) (t + т, q>")
отличен от нуля.) Итак, выбор вектора q(1) в виде (3.3.10) обеспечивает
принадлежность ему характеристического показателя Хх. Тем самым мы
построили два новых решения qx, q2, соответствующие обобщенным
характеристическим показателям и Я2.
146
Глава 3
При переходе от старых решений qt, q2 к новым решениям qt, q2 матрица С
(3.1.18), как нетрудно доказать и в чем мы убедимся непосредственно в
разд. 3.7, приводится к треугольному виду.
3.4. Доказательство квазипериодичности элементов треугольной матрицы С
по т, а также периодичности по Ф, и принадлежности классу Ск по (р (на
примере матрицы 2x2)
Докажем, что функции а (т) и |5 (т) можно приблизить (быть может, с
точностью до общего множителя) асимптотически со сколь угодно малой
погрешностью функциями, квазипериодическими по т. Для этого мы с помощью
(3.3.2) запишем коэффициенты а (т) в
(3.3.6) или (3.3.7) в виде
ГцМч^ОЧт, Фо) = q(1) {t, Фо - т) -ri2(x)q(2)(/+T, ф0). (3.4.1)
Аналогичным образом поступим с коэффициентами р (т) в (3.3.6). Для
дальнейшего достаточно рассмотреть в качестве примера, как проводится
доказательство для коэффициента а (т). Для того чтобы коэффициенты а (т)
и р (т) оставались ограниченными при всех положительных / и т, образуем
вместо (3.4.1) выражение
Фо ~т)Ги(т)ч(1)(/ + т, (f0) = Jf{t, <p0 - T)q(l>(*, фо - т) -
- Л' (t, фо - г) ri2(x)q( '(Z' + t, фо), (3.4.2)
где
Jf(t, Фо -T) = [j Фо -т) |2+ j^(2) (7, Ф0-т)|2Г2. (3-4.3)
Изложим сначала общий ход доказательства, проводимого со всей строгостью
в дальнейшем. Предположим, что при /->- оо функция z2 (/ + т) зависит от
времени как 72-(/ + т), а вектор q(/) (t,
Фо-т) - как ехр (7Д). Пусть 7j>72. Тогда при t -у оо второй
член в (3.4.2) обращается в нуль. Это означает, что коэффициент а (т) в
(3.3.7) и соответственно коэффициент Р (т) в (3.3.7) можно
аппроксимировать выражениями, содержащими только q(1) (t, Фо-т) и q(2)
(t, фо-т). Но так как векторы q(,) (t, ф0-т) всюду плотны в пространстве
q(/) (/, ф), коэффициенты а (т) и р (т) с любой степенью точности можно
приблизить функциями, квазипериодическими по т и даже принадлежащими
классу Ск по ф. Следовательно, а (т) и Р (т) мы можем вложить в множество
функций а (ф) и р (ф) (ф = ф0-т), квазипериодических по т и 7\-периоди-
ческих и принадлежащих классу Ск по ф.
Квазипериодические коэффициенты
147
Сформулируем это более точно. Пользуясь соотношениями
(3.1.11) и (3.2.33), запишем (3.3.2) и (3.3.3) в виде
q0)(C Фо-т) = ехр [Zi (* + т) - (t)J u(1) -h т) Dj1 (т) 4-
+ ехр [г2 (t + т) -z-2 (т)] u(2) (t + т) П/2 (т) (/=1, 2). (3.4.4)
Выберем т в интервале
т1<т<т2. (3.4.5)
Используя (3.4.3), образуем
Фо-т)ч(,)
и соответствующие выражения в правой части (3.4.4).
Разделив числитель и знаменатель правой части получившегося выражения на
ехр [zj (t + т)-?! (т)], (3.4.6)
мы увидим, что коэффициенты D/2 (т) в (3.4.4) входят с множителями
ехр [г2 (t + т)-г2 (т)-гг (t 4-т) (т)). (3.4.7)
Напомним определение обобщенного характеристического показателя, согласно
которому
lim sup \ - Zj {t) 1 = 'kj. (3.4.8)
t-*oo L t J
Следовательно, можно выбрать последовательность tn ->¦ °о, такую, что
- г1(/")>Я1-б, б>0. (3.4.9)
С
При каждом т из интервала т1<т<т2 ей соответствует последовательность,
такая, что
- Ui(^4-t)-г1(т)]>Аа -б', б'>0. (3.4.10)
П
При достаточно больших t" величину 6' можно выбрать сколь угодно малой. С
другой стороны, так как
limsup j-y-z2(0 j = ^2. (3.4.11)
найдется число б"4>0, такое, что при той же последовательности
tn И
-1- [г2 (t + т) - г2 (т)] < 4- 5", (3.4.12)
148
Глава 3
причем при достаточно больших /" величину б" можно выбрать сколь угодно
малой. Сопоставляя (3.4.10) и (3.4.12), мы заключаем, что (3.4.7)
стремится к нулю при tn -оо.
Следовательно, всюду в (3.3.7) при т1ст<;т., мы можем заменить
Ui(/ + t)D/1(t) (3.4.13)
на величину
lim sup {yf (t, фо-x)qU) (t, ф0--т)), (3.4.14)
которая квазипериодична по т. Это позволяет построить аир как
квазипериодические функции с помощью соответствующих замен Du в (3.3.8) и
(3.3.9) и последующего предельного переходат2->- оо.
Если выполняется предположение (5) теоремы 3.1.1, то мы можем снова
заменить (3.4.13) на (3.4.14), вкладывая одновременно N (t> Фо-т) Ч0) (С
Фо-т) в множество вектор-функций дГ (/, q>) X Xq0) (/, ф). Поскольку
последнее выражение периодическое и принадлежит классу Ск по ср, то же
можно сказать и о а (т) -а (ф), а также о р (т) ->- р (ф).
Итак, подведем итоги. В предположениях (1) - (4) теоремы
(3.1.1) мы построили полную систему решений уравнения (3.1.5)
Ч(,)(^ Фт), Фх = Фо - т, (3.4.15)
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed