Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
аналогичное (2.9.20), т. е. Л)2) может быть выбрано в виде периодической
функции, не содержащей постоянного члена. В том же порядке е2 получаем в
качестве остальных строк, т. е. при k =j= 1, уравнения
Af = Y.MklA\l\ (2.9.31)
/= 1
правые части которых можно преобразовать к виду
ехр [(Ды + Л;1) t] (Р\Р + С[2)), (2.9.32)
или
АДВГ + СП- (2.9.33)
Уравнение (2.9.31) допускает решение вида
Л12) = еА^(Я2, + СИ, (2.9.34)
где Р[Р - периодическая функция, не содержащая постоянного члена, a С?2)
- постоянная. Теперь структура возникающих уравнений уже достаточно ясна
для того, чтобы мы могли рассмотреть общий случай - со степенями v > 3 по
е. При v > 3 в качестве первой строки получается уравнение (Ам = 0 при х
< 0, а.л = 0 при х < 1)
ev : ovya2H(,w2) + a3H)v~'J)-r . . . A-av^2A\2) + av-1A\1) -f-
+ i(,v,= t MltA\^l). (2.9.35)
/= 1
Постоянная av и функция A(\] в (2.9.35) пока не известны. Все остальные
функции, включая А(?\ 1 < х < v - 2, определены
на предыдущих этапах решения (в предположении, что по доказанному все А
- периодические функции, не содержащие постоянных
членов). Подставляя эти ранее найденные А в правую часть урав-
нения (2.9.35), нетрудно убедиться в том, что приводится к виду
ехр [(Ап + Дц) t] (Р(Г1) + Ср-") = P(!v) + C\v), (2.9.36)
т. е. допускает разложение в сумму постоянной и чистой периодической
функции, не содержащей постоянного члена. Коэффициент av можно выбрать
равным этой постоянной, а функцию 4iv) считать чисто периодической. Чтобы
найти ЛГ', достаточно проинтегрировать уравнение (2.9.35).
Рассмотрим теперь в том же порядке по v другие строки (2.9.18):
а2А(Г2) + а3А?-3)+ . . . + A[v) = ? MklA?~". (2.9.37)
/=1
134
Глава 2
Функция A(k] в (2.9.37) не известна. Все остальные Л/ определены на
предыдущих этапах решения и имеют вид произведений
А[ - e^llt X Периодическая функция. (2.9.38)
Следовательно, правая часть уравнения (2.9.37) представима в виде exp
[(А*, + Atl) t] Ph (P\v~l) + C\v~l)), (2.9.39)
или, если записать ее более компактно,
ел^(рМ + СГ). (2.9.40)
Таким образом, решение уравнения (2.9.37) можно записать в виде ЛГ^А^Я^ +
СР), (2.9.41)
где P*v) - периодическая функция, не содержащая постоянного члена, a ?iv)
- постоянная.
Приведенные выше соображения говорят нам о нескольких вещах. Прежде всего
существует итерационная процедура, позволяющая, как мы убедились,
определять последовательные вклады в сдвиг показателя X, т. е. величины
а2, a.d, . . . . Кроме того, выражения, стоящие в (2.9.16) в квадратных
скобках, могут быть построены в явном виде и всякий раз оказываются
периодической функцией. Собирая эти составные части вместе, мы получаем
общую структуру решения
Pi + Сг
е^ (Р2 + С2)
еАп,*(Рп+сп)
(2.9.42)
Все члены допускают явное построение с помощью итерационной процедуры. От
вектор-решения (2.9.42) уравнения (2.9.11) мы можем через (2.9.8)
вернуться к (2.9.4). Проделав этот путь, мы обнаружим, что первый столбец
матрицы решений имеет вид
Pi + Ci
°2 "Ь С2
~(1) J,t yt
q = е ev
(2.9.43)
где С/ - постоянные, Pj ных постоянных).
Рп~р Сп
периодические функции (без аддитив-
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 135
Аналогичным образом, переставив соответствующим образом индексы,
определим остальные вектор-столбцы. На последнем этапе мы можем,
используя (2.9.3), вернуться к матрице Q. Как было показано в разд. 2.6
(см. (2.6.36)) и 2.7, такое преобразование не изменяет структуру вектор-
решения (2.9.22). Изложенный нами метод допускает обобщение на случай
вырожденных 7, когда,
(2.9.43) содержит не только периодические функции, но и периодические
функции, умноженные на конечные степени t. Для практических целей н
низших порядков по s нашего метода вполне достаточно. С другой стороны,
судить о сходимости получающихся разложений довольно трудно потому, что с
каждой последующей итерацией число членов возрастает. В разд. 3.9 мы
введем новый метод, несколько более сложный, но быстро сходящийся (и
действующий даже в квазипериодическом случае).
Глава 3
ЛИНЕЙНЫЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
3.1. Постановка задачи и теорема 3.1.1.
В этом разделе мы исследуем общий вид матрицы решений Q (/),
удовлетворяющей дифференциальному уравнению
Q(t) = M(t)Q(t), (3.1.1)
где М - комплекснозначная матрица т X т, представимая в виде ряда Фурье
M(t) = 2 м пг п2, . . ., " exp (ttojnj/ + ш2п2/ +
nv П2.....nN
+ . . . ia>NnNt). (3.1.2)
Каждый коэффициент Фурье Мп"п2 этого ряда представляет собой матрицу т X
т. После того что мы узнали из предыдущих разделов, естественно спросить,
нельзя ли привести вектор-решение q (t) к виду
q (/) = еи\ (/), (3.1.3)
где v (t) - квазипериодическая функция от t или многочлен от t с
квазипериодическими коэффициентами. Хотя в литературе неоднократно
предпринимались попытки решить эту задачу, ни одна из них не увенчалась
полным успехом. Иначе говоря, можно ожидать появления вектор-решений
другого вида. Таким образом, в этом и в последующих разделах мы
