Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
3.6.1, и заменим (3.5.15) условием ортогональности
oer|fe = 0. (3.6.7)
Так как решения линейно независимы, все векторы г)/ не могут обращаться
в нуль при одном и том же значении т, поэтому
существует индекс /, при котором (3.6.6) не обращается
в нуль там, где
обращается в нуль r\k. Определим переменную х как отношение
х=-~ т° , (3.6.8)
Tl to
154
Глава 3
тогда при т
а при т
= 0.
(3.6.9)
1. (3.6.10)
Выберем т0 и так, чтобы вектор % перешел в т]; до того, как % обратится в
нуль. С другой стороны, выберем т0 и так, чтобы модуль вектора | rjfe |
был меньше [ т]/1 и правая часть (3.6.6) не могла обратиться в нуль из-за
взаимной компенсации векторов ц.
Определим сглаживающую функцию (3 следующим образом:
0
Р(х) =
при h(x) при 1
0
• ос <Л'
< X < 1,
0,
при
Рис. 3.6.1. Сглаживающая функция (3 (лг).
1 X<Z ОО.
(3.6.11)
Кроме того, "сплайн-функция" (3.6.6) должна быть достаточное число раз
непрерывно дифференцируемой по т.
(3.6.12)
Потребуем для этого, чтобы при заданном п р(т) = 0, 1 -1,
при х - 0 и х= 1.
Здесь и далее верхний индекс (т) означает rn-ю производную.
Так как точки т, в которых нам приходится производить сглаживание,
обладают такими же свойствами квазипериодичности, как векторы %, %, вновь
построенные функции р также обладают этими свойствами. По построению
сглаживающие функции р остаются в классе Ск и квазипериодическими и при
t-+¦ оо.
Следующие краткие соображения показывают, как явно построить функцию р,
задаваемую соотношениями (3.6.11), (3.6.12), но для дальнейшего наш
экскурс не имеет особого значения. Итак, чтобы удовлетворить условию
(3.6.12), положим
h(x) = xnf(x), (3.6.13)
где / - многочлен степени п:
/ (*) = Z atxl.
i= о
Не ограничивая общности, будем считать, что
а"= 1.
Чтобы определить функцию /, введем переменную
*=1 + |
(3.6.14)
(3.6.15)
(3.6.16)
Квазипериодические коэффициенты
155
и положим
f(l + l) = g(l), (3.6.17)
где g - снова многочлен, который можно представить в виде
g(l) = t bt\l. (3.6.18)
1=0
Выберем теперь коэффициенты а или b так, чтобы
1г( 1)=1 (3.6.19)
и
/i(m,(l) = 0, m = 1, . . . , п- 1, (3.6.20)
где верхний индекс (гп) в (3.6.20) означает m-ю производную по х. Из
(3.6.19) получаем, что
g( 0)==1 (3.6.21)
и
bQ-\, (3.6.22)
а из (3.6.20) при т = 1
"g(0) + g'(0) = 0 (3.6.23)
и
Ьг= -п. (3.6.24)
Соотношение (3.6.20) позволяет последовательно определить все
коэффициенты bi. Таким образом, многочлен, обладающий требуемыми
свойствами, действительно можно найти. Нам остается убедиться в том, что
построенное решение (3.6.13) всюду на интервале [0, 1 ] имеет
положительную производную, т. е. что функция h (х) монотонно, без
"извивов" возрастает. Так как h - многочлен степени 2л, он может иметь не
более 2л-1 различных экстремумов, которые являются нулями его первой
производной /г(1). По построению л-1 экстремумов совпадают с точкой х =
0, а л-1 других экстремумов совпадают с точкой х = 1. Следовательно,
остается не более одного экстремума. Нетрудно показать, что при малом
А'( 0 + е)>0 (3.6.25)
и
h! (1 -е) >0. (3.6.26)
Из неравенств (3.6.25) и (3.6.26) следует, что извилистая (немонотонная)
кривая должна иметь внутри отрезка [0, 1 ] по крайней мере два экстремума
(рис. 3.6.2), что противоречит нашим результатам, предсказывающим
существование самое большее одного дополнительного экстремума внутри
интервала [0, 1 ]. Следова-
156
Глава 3
тельно, случай, представленный на рис. 3.6.2, не реализуется, и кривая
(3.6.13) может иметь только такой вид, как показано на рис. 3.6.1. На
этом наш небольшой экскурс завершается.
До сих пор мы обсуждали, каким образом можно преодолеть разрывы,
возникающие в тех случаях, когда щ обращается в нуль как функция т.
Покажем, что аналогичная процедура остается в силе и в том случае, если
вектор щ через вложение рассматривать как функцию от ф. Рассмотрим сдвиг
ф <-* ф0-т, при котором Dk\ (т) ф 0 (индекс k фиксирован). Так как q0)(/,
ф) 6 Ck (k > 0),
существует целая окрестность 5 (ф) вектора ф, каждая точка которой
допускает аппроксимацию последовательностями ф-т" (mod Т), Т = (7\, Т2, .
. . , Тп), Tj = 2л/со/ и в которой, кроме того (при фиксированном индексе
к), выполняется неравенство Dk 1 (т") ф 0. Таким образом, весь тор
оказывается покрытым перекрывающимися областями ("картами") с отличными
от нуля Dj 1 (т). В каждой из этих областей существует по крайней мере
один отличный от нуля вектор rjfe. Нам остается лишь сгладить переходы
при переходе от одной области к другой, соседней. Размеры областей,
задаваемые D,i (т) ф 0, не зависят от / и, следовательно, фиксированы, в
то время как рассогласование векторов г]* по направлению стремится к нулю
при /-> оо. Таким образом, при / -> оо сглаживающая функция остается
достаточное число раз дифференцируемой.
3.7. Треугольная матрица С и приведение ее к блочно-диагональному виду
Так как Q (/, ф) (или Q (/, ф) из (3.5.16)) - решения уравнения
(3.1.5), мы можем воспользоваться общим соотношением (3.1.10). Записывая
