Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Q (0) = 1. (3.2.24)
Квазипериодические коэффициенты
143
Так как каждое из выполненных нами преобразований обратимо, достаточно
рассмотреть новую задачу - о решении матричного уравнения (3.2.23) с
начальным условием (3.2.24). Можно доказать (доказательство полностью
аналогично проведенному в разд. 2.7), что новые вектор-решения q(y) также
представимы в виде
(3.1.11) с такими же обобщенными характеристическими показателями, как
и старые вектор-решения.
В дальнейшем мы будем рассматривать только преобразованную систему
(3.2.23) и (3.2.24), поэтому тильду можно опустить.
Лемма 3.2.5. Матрица преобразования С (см. (2.7.7)) системы (3.2.23),
(3.2.24) задается соотношением
С (г, <p) = Q(T, <р + т). (3.2.25)
Доказательство. Воспользовавшись определением оператора Тх, запишем
(3.1.19) в виде
Q(t + x, cp + T) = Q(f, ф) С (т, Ф). (3.2.26)
Выбрав t - 0 и воспользовавшись (3.2.24), получим (3.2.25). Так как по
теореме 2.4.1 матрица Q (t, ф) невырожденная, обратная матрица
С~г (г, (p) = Q-1(B ф + т) (3.2.27)
существует при всех тиф.
Соотношение (3.2.25) позволяет представить (3.2.26) в виде
Q(* + r, ф + т) = <2(г, ф) Q (т, ф + т). (3.2.28)
Подставив всюду ф-т вместо ф, получим после несложных преобразований
Q(t, ф-t) = Q(/ + t, ф)С?-1(/, ф), (3.2.29)
В частном случае при ф = ф0 введем для С (т, ф0) специальное обозначение
С (т, ф0) = С(т). (3.2.30)
Лемма 3.2.6. Введем матрицу Г - транспонированную обратную матрицу Q (т,
ф):
r = (Q-')r. (3.2.31)
Тогда (3.2.29) при ф = ф0 можно представить в виде
m
Ч0)(^ Фо-т)= Е r/ft(T)q(fe)(^ + T, Фо), 7 = 1, 2, . . . , т.
k=i
(3.2.32)
Пусть
Г,-* (т) ;= Tjk (т, фо) = wDik (т). (3.2.33)
144
Глава 3
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) | Djk (т) Icdi, не зависит от т;
2) Djk (т) ? С1 по т.
Доказательство. Утверждение (1) следует непосредственно из определения
обратной матрицы, соотношений (3.2.30), (3.2.25) и предположения (3)
теоремы 3.1.1. Утверждение (2) следует из разложения вектора q0)
(принадлежащего по крайней мере классу С1 по т) в произведение
действительного множителя exp (zjt) и единичного вектора и у (/).
3.3. Доказательство утверждения "а" теоремы 3.1.1: построение
треугольной матрицы (на примере матрицы 2 х 2)
Так как все основные идеи и существенные этапы доказательства особенно
наглядно прослеживаются в простом случае, когда М и, следовательно, Q -
матрицы 2x2, мы начнем с этого примера и положим
Q(t, Ф") = 1^4(0, ^(0и2(/)). (3.3.1)
Разложение (3.2.32) примет вид
q(1)(''. Фо -т) = Гц(т)д(|>(/ + т, фо) + Г12 (т) q<2) (/ + т, <р0),
(3.3.2)
q<2'(A Фо -T) = r2X(T)q(1>P + T, Фо) + Too (т) q<2> (t + т, ф0).
(3.3.3)
Рассмотрим разложения (3.3.2), (3.3.3) более подробно. Векторы
q<;> (/, ф0-т) в левой части образуют подмножество вектор-функций q<;>
(t, tp), периодических по ср/ и принадлежащих классу Ск по ф. В
частности, в левой части уравнений (3.3.2) и (3.3.3) стоят функции,
квазипериодические по т. Так как отношения частот со по предположению
иррациональны, векторы ф0-т всюду плотны в пространстве ф, или, точнее,
величины
(фо / - т)^тос1~?^х^ всюду плотны в ф/, 0 < ф/ < ~- .
\ СО,- ) СО j
(3.3.4)
Из (3.3.4) и из q0) (/, ф) 6 Ск следует, что векторы q(;) (t, ф0-т) -
всюду плотны в пространстве q0) (t, ф). Асимптотическое поведение при t -
оо векторов q<;> в правой части уравнений (3.3.2) и (3.3.3) известно. По
предположению векторы q(;) (j = 1, 2) имеют различные обобщенные
характеристические показатели Xj. Мы хотим построить теперь новые решения
уравнения (3.1.5) q(1> и с/2), которые сочетали бы в себе оба свойства, а
именно: обладали бы
Квазипериодические коэффициенты
145
известным асимптотическим поведением (q<;) должен иметь обобщенный
характеристический показатель Xj) и квазипериодичностью по аргументу <р0-
т- Выберем Я,1>Я2. Начнем с построения вектора qt2>. Умножим (3.3.2) на а
(т), а (3.3.3) на (3 (т) и образуем линейную комбинацию
Я<2> Фо -У т) = а (т) qU) (t, <р0 - т) + Р (т) q<2) (/, ср0 - т).
(3.3.5)
Мы хотим, чтобы q<2) не содержал обобщенный характеристический показатель
Ях. Потребуем для этого, чтобы
а (т) Гц (т) q(1> (^ -г т, <р0) + Р(т) Г21(т) q(1)(/ + x, (р0)=0. (3-
3.6)
Это условие вполне выполнимо, так как вектор q<2) из него выпа-
дает.
С помощью величин D, определяемых формулой (3.2.33) (лемма 3.2.6),
преобразуем (3.3.6) к виду
а (т) ux (t -f т) Dn (т) + р (т) Uj {t + т) D21 (т) = 0, (3-3.7)
где коэффициенты D ограничены.
Решение уравнения (3.3.7) представимо в виде
а (т) - -D-21 (т) [| Dn (т) |2 +1 Дц (х) |2]->2, (3-3.8)
Р (х) = -Du (х) [| Du (х) j2 + ] Dtl (х) ]2Г'2, (3.3.9)
где ввиду произвольности решения однородных уравнений выписывать
знаменатель можно, но не нужно. Поскольку решения линейно независимы,
знаменатель отличен от нуля.
Используя те же а (х) и (3 (т), мы можем построить qx по формуле
qU)(P Фо -т, х) - р* (т) q(l) (t, <р0 - т) -a*(x)q<2)(C (р0 -т).
(3.3.10)
Подставляя (3.3.8), (3.3.9) и (3.3.2), (3.3.3) с (3.2.33), получаем век-
