Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
матрицы т X т - в разд. 3.5). Наконец,
в разд. 3.7 мы доказываем утверждение "в".
3.2. Леммы
Лемма 3.2.1. Если матрица М, имеющая вид (3.1.4), принадлежит классу Ck
(k > 0) по ф, то она ограничена при всех t (-оо etc + оо) и всех ф.
Следовательно, мы можем воспользоваться выводами, к которым пришли в
разд. 2.4.4, и определить обобщенные характеристические показатели.
Доказательство. Так как матрица М периодическая по каждому ф/, или, что
эквивалентно, по каждому ф/ = ф/ + t, она непрерывна на замкнутых
интервалах 0 < ф/ (mod 2л/со/) < 2л/ы/
н, следовательно, ограничена при всех t и ф.
Лемма 3.2.2. Если матрица М, имеющая вид (3.1.4), и начальная матрица
решений Q (0, ф) принадлежат классу Ck по ф, то матрица решений Q (t, ф)
также принадлежит классу С* по ф при - оо CtC ф- °° •
Доказательство. Будем исходить из матричного уравнения
(3.1.5), в котором матрица М имеет вид (3.1.4). Решение уравнения (3.1.5)
формально представимо в виде
Q(t, ф) ехр |j M(s, Ф) dsj Q (0, ф), (3.2.1)
где Т - оператор хронологического упорядочения. Экспоненци-
140
Глава 3
альная функция в правой части (3.2.1) определяется соотношением
t °° t
t exp |j M (s, (p) ds j = 1 -j- ^ f |j M (s, q>) dsj • (3.2.2)
П- 1
Оператор T упорядочивает стоящие справа от него произведения матриц так,
что матрицы, соответствующие большим (более "поздним") значениям t, стоят
слева от матриц, соответствующих меньшим (более "ранним") значениям t. В
частности, это означает, что
1{п) = Т [ Г М (s, ф) ds I =| dsnM (sn, ф) I dsn^M (s"_lt ф) . . .
n\ Lo Jo 0
S2
... I dsxM (sb ф), (3.2.3)
0
Так как M - матрица с элементами Mjk, матричное соотношение
(3.2.3) можно записать поэлементно:
/<?>=_!_ 7 {[j M(s, V)dsTl = Z \dsnMj,i (sn, ф) х "'¦ ILo J h'k
in^i
sn S2
xj dSn-iMi i nAsn-i, Ф) • ¦ • j dsj,Mi k{su Ф). (3.2.4)
о 0
По лемме 3.2.1 матрица M ограничена:
| Mjk I < М. (3.2.5)
Следовательно, для элементов матрицы 1{п) справедлива оценка
_ t hi S2
Е Мп \dsj ds"_! . . .Ids,. (3.2.6) h С-1 о °______________
m"-1 tn,n\
Так как (см. (3.2.1)) хронологически упорядоченную экспоненциальную
функцию (3.2.2) нам предстоит умножить на начальный
вектор-решение qfc при t = 0, необходимо знать норму вектора
/(,Ч(0, ф). (3.2.7)
Предположим, что каждая компонента вектора qk ограничена:
| Ч* (0, Ф)|<<7, k=\, . . . , m. (3.2.8)
Квазипериодические коэффициенты
141
откуда I 4k (t, Ф) | < У ~
/ ; п\
п=О
<Л Min)m(n)q = etMmq, k = 1, 2, . . . , m.
(3-2.10)
Ясно, что ряд в правой части (3.2.10) сходится при любых - оо <; t<z +
Полученные нами оценки без труда обобщаются и позволяют доказать
дифференцируемость (3.2.1) по ср. Обозначая производную по фу штрихом:
<Р):
'I'' дф у
(3.2.11)
и отбрасывая индекс фу, получаем следующее выражение для производной
матричного элемента jk члена ряда (3.2.2):
г t
\ Эфу J/а ( Эфу п!
I ^ , SIT-
Х'И dsnM'j, i (s", ф) ( |о " 1 о
Пусть
Т
L0
M(s, ср) ds
X
+ J rfSnAly. dSn-тМ^, ;n_2 . . . +
+ . • • )/*¦ (3.2.12)
|M'|</C, (3.2.13)
тогда
(_Э_ /(n)}
I Эф; ' )jk
(3.2.14)
Рассмотрим производную (3.2.11) более подробно. Обозначив производные по
фу штрихами:
Эфу
Q {t, <p)U:
Т ехр
Г . • • 1 Q (0. ф) lift +
о J
+ [f ехр/ . . . ]<2'(0, ф) |ife, (3.2.
15)
существует при всех t
воспользуемся оценкой (3.2.14) и получим
Э
Эфу
Qit, ср)
ik
К ехр (mMt) mq +
Т ехр
X
X
-^- Q (0, ср) (3.2.16)
Эфу I ik
142
Глава 3
Второй член в правой части можно оценить с помощью неравенства,
аналогичного неравенству (3.2.9). Следовательно, если М 6 С1 по ф (см.
(3.2.13)), то (3.2.11) существует при - оо <Д<Г + оо. Аналогичным образом
доказывается сходимость (и существование) k-й производной матрицы решения
Q (t, ф), если матрица М достаточное число раз непрерывно дифференцируема
по ф.
Лемма 3.2.3. Если начальная матрица Q (0, ф) периодическая по Ф с
периодами Т/ = 2я/о>/, то Q (t, ф) также Д-периодическая матрица по фу (/
- 1, 2, . . . , п).
Доказательство. В (3.2.1) и (3.2.2) каждый член обладает Д-периодичностью
по ф/.
Лемма 3.2.4. Эта лемма относится к случаю, когда за начальную матрицу
решений выбрана единичная матрица. Обозначим через Q (невырожденную)
начальную матрицу (матрицу решений при ф = ф0):
Q (0, Фо) = <Э(0, Фо). (3.2.17)
Предположим, что при всех остальных ф матрица решений при t = 0 переходит
в ту же начальную матрицу
Q (0, Фо) = Q (0, Фо) = <2о- (3.2.18)
Для дальнейшего удобно преобразовать решения к такому виду, чтобы
начальная матрица решений (3.2.17) трансформировалась в единичную
матрицу. Для этого запишем матрицу решения (опуская для краткости
аргумент ф) в виде
Q(() = U(t)Q0, где ?/ (0) = 1. (3.2.19)
Из (3.2.19) следует, что
Q=U{t)Q0, причем U = MU. (3.2 20)
Подставляя (3.2.19) в (3.2.20) и умножая обе части уравнения слева на
Q(r\ получаем
Q^~^UQ0 = QolMQ0QolUQ0. (3.2.21)
Введем новую матрицу решений
Q^'Q = Q. (3.2.22)
Тогда (3.2.21) можно записать в виде (см. (3.1.1))
Q(t) = MQ, (3.2.23)
где Q удовлетворяет начальному условию
