Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 46

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 152 >> Следующая

элемент матрицы exp (Lt) конечен для любого конечного t. Подставляя
(2.6.2) в (2.6.1), нетрудно убедиться в том, что (2.6.1) удовлетворяет
уравнению (2.5.1), так как
q = Lewq(0). (2.6.3)
Решения вида (2.6.1) полезны при обсуждении некоторых вопросов, однако
вектор q нам бы хотелось получить в более явном виде. В зависимости от
различных начальных векторов q(/)(0) решения Я(/)(0 получаются
различными. Если начальные векторы q(/)(0) линейно независимы, то векторы
q(/) также линейно независимы при любом t.
Докажем следующую теорему: решения q(/> (t) можно выбрать так, чтобы они
имели вид
q('V) = <?Vv(/)(0- (2-6.4)
Показатели X,-, часто называемые характеристическими показателями,-
собственные значения матрицы L. Векторы v(/) (/) имеют вид
v№(0 = v^ + v(/V+ . . . +v?'p. (2.6.5)
116
Глава 2
т. е. являются многочленами по t, степень которых mj не превосходит
степень вырождения собственного значения X,-. Если все X,-различны, то
вектор v(/> (t) вырождается в постоянный вектор. Если несколько
собственных значений Xj совпадают, то вектор v(/> может (но
необязательно) содержать степени t. В дальнейшем мы увидим, как
установить по построению, в какой степени t входит в (2.6.5). Перейдем к
доказательству высказанных утверждений.
Начнем с формального решения уравнения Q = LQ, а именно с матрицы
Q(f) = euQ( 0) (2.6.6)
(вопрос о выборе начальной матрицы Q (0) оставим пока открытым). С
помощью невырожденной матрицы 5 приведем L к жорда-дановой нормальной
форме L:
S~lLS = L. (2.6.7)
Умножая равенство (2.6.7) слева на S, а справа на S-1, получаем
L = SLS~1. (2.6.8)
Соотношение (2.6.6) при этом переходит в соотношение
Q(0 = esrs_l'Q(0). (2.6.9)
Разложение экспоненты в степенной ряд (2.6.2) позволяет привести
(2.6.9) к виду
Q(0 = Se"S-1Q( 0). (2.6.10)
Особенно простым решение Q (t) получается при специальном выборе
начальной матрицы Q (0):
Q (0) = 5. (2.6.11)
Анализировать получающуюся при таком выборе матрицу решений
Q(0 = Se" (2.6.12)
удобнее, если воспользоваться явным видом жордановой нормальной формы L:
L =
о
(2.6.13)
Каждый блок есть либо один матричный элемент
1/1 = */,
(2.6.14)
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
117
либо квадратная матрица т; х rtij
Aj 1
Xj 1
Xj 1
¦ : i
(2.6.15)
Все числа Xj, стоящие на главной диагонали такого блока, равны; над
главной диагональю идет диагональ из единиц, а все остальные элементы
матрицы | /1 равны нулю.
Покажем прежде всего, что exp (Lt) имеет вид блочно-диагональной матрицы
(2.6.13). Из правил матричного умножения следует, что
'Ш2
а.2
(2.6.16)
и вообще при любой степени т
Ш"
Lm =
]Т\т о о
(2.6.17)
Умножив обе части равенства (2.6.17) на tm/m\ и просуммировав, мы получим
матрицу еи блочно-диагонального вида (2.6.13), а
именно
В г- 0
= н.
(2.6.18)
Итак, наша задача об установлении структуры решения уравнения
(2.6.1) сводится к рассмотрению каждой из матриц Я/ вида
Hj = eMi*, (2.6.19)
где через М/ обозначен блок /. Условимся в дальнейшем использовать
обозначение
eU=Q{t)
(2 .6.20)
118
Глава 2
всякий раз, когда нам понадобится нормальная форма (2.6.13). Отбрасывая
индекс /, запишем матрицу (2.6.15) в виде
М = к-1 + К. (2.6.21)
Под 1 мы понимаем здесь единичную матрицу rrij х т;-:
1 =
1
1 О 1
(2.6.22)
а под К - квадратную матрицу
К =
О 1 • О 1
о
(2.6.23)
Так как матрица 1 коммутирует со всеми матрицами, мы можем разложить
экспоненту еш в произведение экспонент
eMt = eu-eKt.
Разложим ехр (Kt) в ряд по степеням Kt:
eKt=\ + Kt-
2!
¦ K2t2 +
(2.6.24)
(2.6.25)
To, что при этом происходит, нетрудно понять из примеров. Если К -
одномерная матрица, т. е. если
К = 0, (2.6.26)
то (2.6.25) вырождается в постоянную. Если К - двумерная матрица, т. е.
если
О 1
К =
= (о° !)•
(2.6.27)
то, возводя ее в квадрат по правилам матричного умножения, мы получаем
/О ON
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения___________119
поэтому разложение (2.6.25) содержит только постоянный и линейный члены,
т. е. имеет вид
;к о-
Если К - матрица третьего порядка, т. е. если
(2.6.29)
(2.6.30)
то, возводя ее в квадрат и куб, мы получаем
К2 =
0 0 1 ООО ООО
/С8 =
ООО
ООО
ООО
(2.6.31)
(2.6.32)
поэтому разложение (2.6.25) обрывается на квадратичном члене, т. е. имеет
вид
После этой предварительной подготовки для нас уже не составит особого
труда найти Q (2.6.20). Структура матрицы Q (t) станет более понятной,
если мы предположим для примера, что принад-
лежит блоку 1x1, Я, 2 - блоку 2 X 2 и т. д.
eKt 0 0
0 teKi
Q{t) = elt^H = 0 0 еи
(2.6.34)
120
Глава 2
Чтобы найти q</>, разложим (2.6.34) на вектор-столбцы q</>:
1 0 0
0 1 t
q(I) = ew 0 , q(2)=ev 0 , q(3>=e^ 1
, . • J
(2.6.35)
Из приведенных выше соображений теперь уже ясно, как можно построить
матрицу Q. Чтобы найти матрицу-решение Q(i), необходимо составить
произведение (2.6.12). Его мы получим, умножив по правилам матричного
умножения 5 на Q:
SQ =

S21
. 5
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed