Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 47

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 152 >> Следующая

1 п
0 0
0 еы ti-
0 0
(2.6.36)
Обратившись к нашему примеру, мы сразу же найдем
q(I> = ew
5ц *S 12
S21 S22
^31 , q(2W°' *^32 "
* * (2.6.37)
513 S12
*^23 S22
q<3> = eu 533 +1 *S32

Ясно, что все q(/) имеют вид (2.6.4) (с множителем v(l) (t), имеющим вид
(2.6.5)). Именно это и утверждалось в теореме, приведенной
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 121
в начале данного раздела. Способ доказательства позволяет в явном виде
построить все решения q(/). Изложенный нами метод допускает обобщение на
случай периодической (по времени) матрицы L, к рассмотрению которого мы
сейчас переходим.
2.7. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
Выведем общий вид решений уравнения
q=L(/)q, (2.7.1)
где L(t) - матрица с периодическими элементами. Иначе говоря, матрица L
инвариантна относительно сдвига
Т: t-yt-\-t0, (2.7.2)
т. е. коммутирует с оператором (2.7.2):
TL = LT. (2.7.3)
Умножая правую и левую части уравнения
Q = LQ (2.7.4)
слева на Т и используя (2.7.3), получаем
СTQY = L(TQ). (2.7.5)
Из него видно, что TQ есть решение уравнения (2.7.4). По теореме
2.4.1 (разд. 2.4.3), эта матрица-решение выражается через старую матрицу-
решение Q (/) с помощью постоянной матрицы преобразования С:
TQ = Q(t + t0) = Q(t)C. (2.7.6)
Предположим, что матрица преобразования С известна *). Вместо того чтобы
решать уравнение (2.7.4), рассмотрим более подробно
решение уравнения (2.7.6). Прежде всего заметим, что по теореме
2.4.1 С - невырожденная матрица. Как доказывается в математике и будет
показано в явном виде далее, мы всегда можем найти мат-
х) Поскольку в большинстве случаев уравнение (2.7.4) не удается решить
аналитически, можно обратиться к численным методам. Выбрав за Q (0)
единичную матрицу, будем вычислять Q (t) на ЭВМ методом последовательных
приближений, пока не достигнем t = ie. Соотношение (2.7.6) дает в этом
случае
Q (to) = С. (2.7.7)
Следовательно, прямые вычисления позволяют получить матрицу
преобразования С.
122
Глава 2
(2.7.11)
(2.7.10)
(2.7.9)
(2.7.8)
Соотношение (2.7.11) означает, что матрица-решение U (t) периодическая.
Введем теперь матрицу S, приводящую Л к жордановой нормальной форме
Это позволит нам решить интересующую нас задачу, шаг за шагом
воспроизводя рассуждения, которые позволили нам решить аналогичную задачу
в предыдущем разделе. Действительно, из (2.7.12) получаем
По теореме 2.4.1 (в которой S-1 = С) Q - матрица решений, если Q (t) -
матрица решений. Поскольку матрица Q имеет более простой вид, чем матрица
Q (t), мы начнем рассмотрение с матрицы Q. Обозначим для краткости
Это решение по виду сильно напоминает решение (2.6.12) дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами. Единственное различие состоит в
том, что вместо матрицы S, входящей в решение (2.6.12), решение (2.7.17)
содержит матрицу U с периодическими по времени элементами. Это позволяет
нам, повторив шаг за шагом все рассуждения, изложенные в разд. 2.6,
получить стан-
A = SAS_I.
(2.7.12)
eAt = SeAt S~l.
Подставляя (2.7.13) в (2.7.9), получаем матрицу-решение
(2.7.13)
Q(/) = t/(/)SeA<S"l.
(2.7.14)
Q №)
которую можно представить в виде
Q(0 = Q(0(S)-1.
(2.7.15)
U(t) = U(t)S,
(2.7.16)
тогда
(2.7.17)
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
123
дартный вид векторов-решений:
q(/) (0 = eVv(/) (t), (2.7.18)
где
v(/) (t) = у(оЛ (0 + V? (t) t+ . . . + V<'>. (0 Г/. (2.7.19)
Характеристические показатели Xj в (2.7.18) называются показателями
Флоке. Они являются собственными значениями матрицы Л (см. (2.7.12)).
Коэффициенты - периодические функции времени с пе-
риодом t0. Степени nij многочленов по t удовлетворяют неравенствам
mj <С Степень вырождения показателя Флоке Xj. (2.7.20)
Это - последний из результатов, приведенных в разд. 2.7. Для
тех читателей, кого интересуют все подробности, мы рассмотрим
вопрос о том, как определить матрицу Л в (2.7.8), если С известна. Для
этого введем матрицу V, приводящую С к нормальной жорда-новой форме.
Используя (2.7.8), получаем
V-leAi'V = V~lCV = C. (2.7.21)
Вводя сокращенное обозначение
К-1ЛК = Л, (2.7.22)
преобразуем левую часть равенства (2.7.21) к виду
eAt° = С. (2.7.23)
Для того чтобы удовлетворить соотношению (2.7.23), где матрица С имеет
блочно-диагональный вид
С,
С,
(2.7.24)
достаточно предположить, что матрица Л, которая пока не известна (и
проистекает от матрицы Л), также имеет блочно-диагональный вид
Л =
Л, о
(2.7.25)
124
Глава 2
(см. шаги (2.6.16) - (2.6.18)). Тем самым наша задача сводится к
рассмотрению аналогичной задачи для любой из подматриц (2.7.24) или
(2.7.25), т. е. к решению уравнения
ехр (?/¦") =
(2.7.26)
где знак ? в левой части означает все еще неизвестную матрицу, которую
требуется определить.
Так как С - невырожденная матрица, то числа ц в (2.7.26) отличны от нуля:
V-Ф 0.
Положим
и введем разложение
? =x.\ + n'it0.
Оно позволяет преобразовать (2.7.26) к виду
(2.7.27)
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed