Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(2.7.28)
(2.7.29)
// ехр (?') =
,.г 1
ц 1 О
О
. 1
(2.7.30)
или
ехр (?') = 1 + ц
-1
0 1 0
0 1
О . 1
(2.7.31)
Хотя мы имеем здесь дело с матрицами, разложения в степенные ряды
позволяют, как было показано выше, обращаться с функциями от матриц так
же, как с функциями от обычных чисел. Поскольку
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
125
логарифм может быть задан своим разложением в степенной ряд, возьмем
логарифм от обеих частей равенства
? ' = ln (l + p^K), (2.7.32)
где К - матрица (2.6.23). Разлагая в степенной ряд логарифм в правой
части (2.7.32), получаем
? ' = ц-1К--------р-2/<:2 + --\1~3К3-. . .. (2.7.33)
2 3
К счастью, нам не нужно заботиться о сходимости ряда в правой части
(2.7.33). Она следует из формул (2.6.28), (2.6.32) и их обобщения:
утверждения о том, что степени матрицы К выше некоторой равны нулевой
матрице. Итак, соотношение (2.7.33) дает явное
решение нашей задачи об определении матрицы ? в (2.7.29).
Мы
показали, каким образом можно вычислить Л, если матрица С известна.
2.8. Теоретико-групповая интерпретация
Результаты разд. 2.2 и 2.7 могут служить иллюстрацией основных понятий
теории представлений групп. Оператор Т в полной аналогии с разд. 2.2
порождает абелеву группу с элементами Тп, где п - любое целое число
(положительное, отрицательное или нуль). А что происходит с установленным
нами соответствием Т -их (см. (2.2.16))? Исходным пунктом для его
установления послужило соотношение (2.2.10), т. е.
Tq(t) = aq(t). (2.8. l)
В рассматриваемом нами теперь случае его аналогом служит соотношение
TQ(t) = Q(t)C, (2.8.2)
т. е. соотношение (2.7.6), где С - матрица. Действуя на обе части
равенства (2.8.2) оператором Т слева и учитывая равенство (2.8.2),
получаем
T2Q (0 = TQ (0 C = (Q(t)C)C = Q (t) С2 (2.8.3)
и аналогично
TnQ(t) = Q(t)Cn. (2.8.4)
Ясно, что
T°Q(f) = Q(f)C°, (2.8.5)
если С0 определить как единичную матрицу. Умножая обе части равенства
(2.8.2) слева на Т-1, приходим к соотношению
(2(9 = 7-42 (ОС. (2.8.6)
126
Глава 2
По теореме 2.4.1 (разд. 2.4.3) С - невырожденная матрица.
Следовательно, существует обратная матрица С-1 и, умножив обе
ча-
сти равенства (2.8.6) слева на С-1, мы преобразуем его в равенство
T^Q (t) = Q(t) С-1. (2.8.7)
Аналогично из (2.8.4) следует, что
T-nQ(t) = Q(t)C~n. (2.8.8)
Совершенно очевидно поэтому, что аналог соотношений (2.2.16) в матричном
варианте выглядит так:
Т^С,
Тп -> С", Г"-"-/,
Т-п^С~п,
а матричные обобщения соотношений (2.2.17) - как
грП'рГП _ грП~\~ТП ^ QnQm _ QnJtm
ТпЕ = Тп-*- Сп1 = С",
Т~пТп = Е -> С~пСп = I,
(¦ТпТт) Т1=Тп (TmTl) -> (СлСт) С1=Сл (стс0.
(2.8.9)
(2.8.10)
Фундаментальное различие между соотношениями (2.2.16), (2.2.17) и
(2.8.9), (2.8.10) состоит в том, что а - число, в то время как С -
матрица. Абстрактные преобразования Тп теперь представлены матрицами С",
а умножению элементов группы {Тп) соответствует умножение матриц Сп.
Поскольку в математике хорошо
известно, как обращаться с матрицами, их удобно
использовать
для изучения свойств абстрактных групп (в нашем случае группы,
порожденной оператором Т). Это - одна из основных идей теории
представлений групп.
В предыдущем разделе было показано, что преобразование
(2.7.14), т. е.
Q(t) = Q(t)S~\ (2.8.11)
приводит L к жордановой нормальной форме
5-1L5 = Z, (2.8.12)
где L-матрица блочно-диагонального вида (2.6.13). Подставим.
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 127
теперь (2.8.11) в (2.8.2) и умножим обе части получившегося равенства
справа на S:
7Q(9 =Q(9S"1CS.
с
(2.8.13)
Равенство (2.8.13) означает, что при переходе от базиса, образующего
матрицу решений Q, к базису, образующему матрицу решения Q, матрица С в
(2.8.2) преобразуется в матрицу
С =s-1cs.
Но
(см. (2.7.8)), поэтому
С - е
С = S~1eAi°S = es 'ASt° = е"°.
(2.8.14)
(2.8.15)
(2.8.16)
Поскольку матрица Л приведена к жордановой нормальной форме, матрица С
(см. разд. 2.6) также приведена к жордановой нормальной форме. Итак, при
подходящем выборе матрицы Q матрица С - генератор представления группы
{Т}-приводится к блочнодиагональному виду
¦Ш
[2] О
(2.8.17)
Так как отдельные блоки (подматрицы) не допускают дальнейшего приведения
к блочно-диагональному виду (из-за своих алгебраических свойств), каждый
из блоков называется неприводимым представлением. При возведении матрицы
Сп в степень по правилам матричного умножения каждый из блоков умножается
на себя, поэтому
С" =
(2]" О
(2.8.18)
Таким образом, оператору Т мы можем поставить в соответствие
128
Глава 2
отдельный блок k, или неприводимое представление:
Г-0,
(2.8.19)
Г"-0\ (2.8.20)
Одна из главных задач теории представлений групп состоит в нахождении
неприводимых представлений абстрактной группы (в нашем случае - группы
\Тп}).
2.9. Теория возмущений *
Поскольку в общем случае невозможно решить в явном виде систему
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, во многих
случаях может оказаться полезен приближенный подход, основанный на
