Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
получить более полное представление о глобальном поведении хп.
Зависимость между хп+1 и хп можно представить графически (рис. 1.17.2).
Вероятно, простей-
Введение
79
Рис. 1.17.3. Параболическая зависимость xn+i от хп, задаваемая уравнением
(1.17.3).
Рис. 1.17.5. Примем значение х2, найденное на рис. 1.17.4, за начальное.
Для этого проведем через точку х2 на оси хп+! горизонтальную (штриховую)
прямую до пересечения с биссектрисой угла между осями хп+1 и хп и из
точки пересечения опустим перпендикуляр на ось хп. Абсцисса его основания
даст нам новое начальное значение хг. Новое значение х3 мы получим,
восстановив из точки хг перпендикуляр к оси хп до пересечения с
параболой.
Рис. 1.17.4. На рис. 1.17.4-1.17.8
показано, как построить последовательность хп (п = 2, 3, 4, . . .) по
известному начальному значению х±. Так как отображающая функция имеет вид
квадратичной параболы, мы найдем х2, восстановив перпендикуляр к оси хп в
точке х± до пересечения с параболой.
Рис. 1.17.6. Чтобы перейти от х3 к х4, мы должны повторить еще раз уже
проделанную процедуру: провести через точку х3 на оси xrt+i
горизонтальную прямую до пересечения с биссектрисой угла между осями хп и
Xn+j, опустить из точки пересечения перпендикуляр на ось хп и из
полученной точки х3 восстановить перпендикуляр к оси хп до пересечения с
параболой.
80
Глава 1
шая кривая, приводящая к нетривиальным результатам, соответствует так
называемому "логистическому" отображению:
Хп +1 -оус"(1 хп). (1.17.3)
Рис. 1.17.7. Приняв х4 за исходное Рис. 1.17.8. Повторяя
неодно-
значение, мы получим хъ. кратно описанную выше проце-
дуру, мы все более приближаемся по спирали к предельной точке -
пересечению параболы с биссектрисой угла между осями Xn+i и хп.
Рис. 1.17.9. Значения лд, х2, х3, , построенные на
предыдущих рисунках, располагаются в вершинах ломаной, все более
приближающейся к штриховой линии.
Рис. 1.17.10. При ином выборе параболы (парабола на рис. 1.17.10 выше,
чем на рис. 1.17.8) вместо спирали возникает замкнутая кривая. Это
означает, что последовательные приближения хп принимают поочередно лишь
два значения (см. рис. 1.17.11).
График этой зависимости представлен на рис. 1.17.3. Коэффициент а в
(1.17.3) служит параметром управления. Если а пробегает интервал от 0 до
4, то любое значение 0 < хп < 1 отображается в не-
Введение
81
которую точку О < хп+1 < 1 того же интервала. Задав начальное значение
х0, нетрудно вычислить последовательность хъ х2 . . . по формуле
(1.17.3), например, с помощью микрокалькулятора.
Рис. 1.17.11. Периодическая по- Рис. 1.17.12. Период 4.
следовательность хп, соответствующая замкнутой кривой на рис. 1.17.10.
Однако поведение решений разностного уравнения (1.17.3) более наглядно
можно представить с помощью очень простого геометрического построения
(рис. 1.17.4-
1.17.9). Настоятельно рекомендуем читателю взять лист бумаги , и
повторить все построение шаг за шагом. По мере увеличения числа шагов в
зависимости от величины а возникают различные типы поведения [хп\- При
а<3 последовательность {хп\ сходится к неподвижной точке. При 3<а<"2
последовательность \хп\ сходится к периодическим перескокам с периодом Т
= 2 (рис. 1.17.10 и 1.17.11). При а1<а-<'Хз (и достаточно больших хп и
t") \хп} возвращается к своим значениям при п + 4, п + 8, т. е. с
периодом
Т = 4, Т = 8, . . . (рис. 1.17.12 и 1.17.13). Если нанести на график
значения, принимаемые хп при п оо и различных а, то получится множество
точек, показанное на рис. 1.17.14.
Хорошо видна последовательность удвоений периода, имеющая в а = а,* =
3,569945672 . . . точку накопления. Последователь-
Рис. 1.17.13. Период 4.
мость хп от п.
Завися-
82
Глава 1
ность ап, при которой происходит удвоение периода, удовлетворяет простому
закону
i;m \ = fit Где 6 = 4,6692016609. . . .
п-+ос \ Ot/i+i - ОС/г /
(1.17.4)
Рис. 1.17.14. Множество возможных значений хп,п-+- оо (по оси координат)
в зависимости от управляющего параметра - ц (по оси абсцисс) в
логарифмическом масштабе. Логистическое уравнение линейным
преобразованием приведено к виду хп+1 = 1- рх2, где соответствует
критическому значению аоо. [Из работы: Collet P., Eckmann J. Р.- In:
Progress in Physics, vol. I./Ed. by A. Jaffe, D. Ruelle.- Boston:
Birkhauser, 1980.]
Параметр 6 называется числом Фейгенбаума и носит "универсальный"
характер, поскольку существует целый класс отображений
(1.17.2), порождающих последовательности удвоений периода с этим числом
6.
Хотя экспериментальные результаты (приведенные в разд. 1.2.1) качественно
согласуются с теоретически предсказанным значением
(1.17.4), не следует удивляться, если это согласие оказывается не слишком
хорошим. Прежде всего число Фейгенбаума выведено при п-*¦ оо, тогда как
экспериментальные данные получены при п = 2, 3, 4, 5. Кроме того,
управляющий параметр, который описывает "реальный мир" и входит в
(1.17.1), не обязательно пропорционален управляющему параметру а в
