Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
движется "частица" с координатой q.
Рис. 1.15.2. Плотность вероятности / (q) (штриховая линия),
соответствующая двум узлам и одному седлу (в одномерном случае). Сплошной
линией показан потенциал, в котором движется "частица" с координатой q.
объема dV = dq1dq2, . . . dqn. Эта вероятность описывается произведением
функции распределения вероятности / (q) и dV. В точках перехода (рис.
1.15.1 и 1.15.2) форма кривой / (q) может резко изменяться. Вблизи точек
перехода флуктуации параметров порядка становятся особенно большими
("критические флуктуации"). При удалении от точки перехода а = а0 по
другую сторону от нее на кривой распределения вероятности снова может
образоваться четко выраженный двойной пик, свидетельствующий о том, что
система с высокой вероятностью находится в одном из новых состояний.
Другая особенность любой системы с шумом состоит в следующем. В начальный
момент времени мы можем найти ("измерить") систему в некотором состоянии
q = q0 или в окрестности состояния q0. Но флуктуации могут вывести
систему из состояния q". Уместно поэтому поставить вопрос, через какое
время система впервые достигнет заданного состояния qx. Поскольку мы
рассматриваем стохастические процессы, такое время перехода можно
определить только в статистическом смысле. Проблема оценки времени
перехода получила название проблемы времени первого перехода. Как ее
частный случай возникает проблема оценки
Введение
75
времени, которое требуется системе, чтобы перейти из одного максимума
функции распределения в другой.
Аналогичным образом эффекты, типичные для влияния шумов, возникают, когда
фокус становится неустойчивым и уступает место предельному циклу. Если
вновь возникшее решение q представить в виде ехр [mt + цр (^)] г (t) (со,
ср, г по предположению вещественны), то окажется, что фаза ф (t)
претерпевает диффузионный процесс, а амплитуда г совершает флуктуации
вблизи некоторого устойчивого значения г0. Важные параметры, подлежащие
определению,- время релаксации амплитуды г и коэффициент диффузии фазы.
Другие явления, связанные с шумами, относятся к распаду состояний с
комбинационными частотами. Шумы могут время от времени выводить систему
из таких состояний, при этом иногда вместо одной комбинационной частоты
вновь возникают две основные частоты. В последующих главах мы рассмотрим
наиболее важные аспекты шумов более подробно, продемонстрируем общий
метод на наглядных примерах и приведем несколько общих теорем,
оказавшихся наиболее полезными в практических приложениях.
1.16. Эволюция пространственных структур
До сих пор мы рассматривали качественные изменения времен ного поведения
систем: возбуждение колебаний, колебания с несколькими частотами,
субгармонические колебания и т. д. Однако во многих физических,
химических и биологических системах не следует пренебрегать
пространственной зависимостью переменных системы. Например, в разд. 1.2.1
было показано, что пространственные структуры могут возникать в жидкости.
В простейшем случае исходное состояние пространственно однородно. При
некотором значении параметра управления однородное решение, как
показывает анализ устойчивости по линейному приближению, может стать
неустойчивым. Итак, требуется рассмотреть линейные уравнения вида
Так как N в (1.14.1) содержит производные по пространственным
координатам, L также содержит такие производные. Чтобы продемонстрировать
наиболее существенные особенности проблемы, представим L в виде
где L0 - постоянная матрица, a D - постоянная диагональная матрица.
Матрица L0, вообще говоря, зависит от управляющего параметра а. Полагая w
(х, t) = ехр (ht) v (х), преобразуем (1.16.1) к виду
w Lw.
(1.16.1)
L = L0 + DA,
(1.16.2)
(L0 + DA) v (x) = Xv (x).
(1.16.3)
76
Глава I
Это - эллиптическое дифференциальное уравнение с частными производными.
При заданных граничных условиях на v (х) уравнение (1.16.3) допускает в
качестве решений серию пространственных мод V/ (х) с собственными
значениями Я/. При изменении а одно или несколько собственных значений Я/
могут пересечь мнимую ось, т. е. соответствующие моды могут стать
неустойчивыми. Метод решения нелинейных уравнений (1.14.1) по существу
ничем не отличается от метода решения, приведенного в разд. 1.14, где мы
пренебрегали любой зависимостью q от пространственных координат х. Итак,
пусть
q(x, 0 = Qo+ Z?/(0vj(x). (1.16.4)
/
Как и прежде, мы можем выделить параметры порядка О/, для которых Re (Я/)
> 0. Воспользуемся принципом подчинения и запишем уравнение для
параметров порядка. Удерживая в (1.16.4) главные члены, т. е. только
параметры порядка = и/, мы получаем скелет возникающих структур. Например
если Re {М > 0, то "скелет" выглядит так:
q (х, t) = const + "i(0vi(x). (1.16.5)
Поскольку Uj (/) во многих случаях удовлетворяет уравнению
иг - 'к1и1-(1.16.6)
мы получаем следующий результат: при 'к<г0 решение иг равно нулю, т. е. q
(х, t) - const, и однородное распределение устойчиво; при А>0 решение иг
