Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
проблем, возникающих в естественных и других науках, поскольку "движение
на торе" означает для конкретной системы, что она совершает движение с
несколькими основными частотами и их подходящими линейными комбинациями.
Во многих случаях такое движение обусловлено системой нелинейных
осцилляторов,
70
Глава 1
что встречается в природе и в технических устройствах весьма часто. Важно
знать, каким именно образом система реагирует на изменение управляющего
параметра.
1.14.6. Показатели Ляпунова *
Итак, мы убедились, что аттракторы могут быть самых различных типов:
устойчивый фокус, предельный цикл, тор или, наконец, странный аттрактор.
Было бы весьма желательно поэтому разработать критерии, позволяющие
отличать аттракторы одного типа от аттракторов другого типа. Таким
критерием служат показатели Ляпунова, к объяснению которых мы сейчас
переходим.
Рассмотрим простейший пример: одну переменную, удовлетворяющую
нелинейному дифференциальному уравнению
q = N{q). . (1.14.15)
В этом случае единственно возможный аттрактор есть устойчивая неподвижная
точка ("одномерный узел"), а "траектория" этого аттрактора есть
постоянная q = q0, соответствующая положению особой точки. Для того чтобы
доказать устойчивость точки q = q0, выполним анализ устойчивости по
линейному приближению, изложенный нами в общих чертах в разд.
1.13. Для этого подставим
в (1.14.15)
q(t) = q0 + 8q(t), (1.14.16)
линеаризуем уравнение (1.14.15) по 8q и получим уравнение
^-8q = L8q, (1.14.17)
at
где L = dN/dq |?=?0 - постоянная.
Ясно, что решение уравнения (1.14.17) имеет вид
8q(t) = 8q(0)eu\ (1.14.18)
Если L<0, неподвижная точка устойчива. В нашем тривиальном примере L
нетрудно получить непосредственно из (1.14.18). Но в более сложных
случаях, о которых пойдет речь в дальнейшем, для того чтобы найти L,
понадобилась бы быстродействующая вычислительная машина. Но даже и тогда
L можно получить из
(1.14.18) по следующему простому рецепту. Образуем величину
-j- In | 8q (t) j
и перейдем к пределу при / -оо. Нетрудно видеть, что
Z. = lim -^- In | б^г (/) 1. (1.14.19)
t -><Х) t
Понятие показателя Ляпунова обобщает величину (1.14.19) в двух
отношениях.
Введение
71
1) Траектории могут проходить в многомерном пространстве: q (/) - радиус-
вектор, конец которого движется по траектории, по мере того как идет
время /.
2) Поведение системы исследуется на устойчивость в окрестности
рассматриваемой траектории q0 (/) (которая может, в частности,
принадлежать аттрактору). Положим по аналогии с (1.14.16)
q(0 = Qo(0 + 6q(0. (1.14.20)
Возмущение 8q (/) покажет, как ведет себя соседняя траектория q (/):
приближается ли она к траектории q0 (/) или удаляется от нее. Чтобы найти
8q (/), подставим выражение (1.4.20) в нелинейное уравнение
q (/) = N (q (/)) (1.14.21)
(q0 - решение этого уравнения) и линеаризуем N по 8q (/). Запи-
сывая уравнение (1.14.21) покомпонентно, получаем
-J- &// (0 = I dN} (q {t))!dqk | ?=?0 бqk (/). (1.14.22)
flt fe
Это - линейные дифференциальные уравнения с коэффициентами (dNj/dqk),
зависящими, вообще говоря, от времени.
Обобщая (1.14.19), трудно устоять перед искушением определить показатели
Ляпунова как
^=lim - ln|6q(/)|. (1.14.23)
t-yoo t
Однако те, кто придерживается такого определения, хотя оно довольно часто
встречается в научной литературе, поступают опрометчиво: предел в правой
части (1.14.23) существует не всегда. Пусть, например,
8c/ = ewsin (co/)-|-ew cos (со/). (1.14.24)
Если в (1.14.23) выбрать /=/"== 2яц/со, где п - целое число, так, что sin
(со/) обращается в нуль, то бq ведет себя как ехр (Я,2/"), и из (1.14.23)
мы получаем % = %2. С другой стороны, если положить /=/(, = 2я (п 4-
1/2)/со, то бq ведет себя как ехр и из (1.14.23) мы получаем % = Ясно,
что если ^ Ф- к2, то предел (1.14.23) не существует. Следовательно,
определение показателя Ляпунова нуждается в уточнении. Грубо говоря,
необходимо выбрать наибольшее % и тем самым заменить lim в (1.14.23) на
lim sup (верхний предел), т. е. положить
Л. = lim sup -^- In \ 6q (/) |. (1.14.25)
/->ОО t
Точное определение верхнего предела мы дадим в гл. 2, где будет доказана
теорема о существовании показателей Ляпунова. В зависимости от различных
начальных значений бq при / = /0 могут
72
Глава I
существовать различные показатели Ляпунова, но число их не превышает т,
где т - размерность векторного пространства, которому принадлежит N (или
q).
Теперь мы уже достаточно подготовлены для того, чтобы сформулировать
критерий, позволяющий различать различные типы аттракторов.
В одномерном случае существуют только устойчивые неподвижные точки, для
которых показатели Ляпунова Я отрицательны (-). В двумерном случае
возможны, как строго доказано в математике, аттракторы лишь двух типов:
устойчивые особые (неподвижные) точки и предельные циклы. Если аттрактор
- устойчивая особая точка (фокус), то два показателя Ляпунова (которые
могут, в частности, совпадать) отрицательны (-, -). Если аттрактор -
