Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
значением / (хп), но и некоторыми дополнительными флуктуациями rj", так,
что
Хп+1 = / (Хп) Лл* (1.18.1
86
Глава I
Могут быть также построены и рассмотрены более сложные отображения,
например отображения для векторов х" и флуктуаций, зависящих от хп (см.
гл. 11).
1.19. Пути к самоорганизации
Во всех случаях, рассматриваемых в этой книге, временные,
пространственные и пространственно-временные структуры возникают, а не
накладываются на систему извне. Процессы, приводящие к такому
возникновению структур, мы будем называть "самоорганизацией". Разумеется,
в ходе эволюции или функционирования сложных (например, биологических)
систем может происходить целая иерархия процессов самоорганизации. В этой
книге мы стремимся выяснить, из каких блоков складывается
самоорганизация. Но в отличие от других подходов (например, в отличие от
молекулярной биологии, занимающейся изучением отдельных молекул и их
взаимодействия) основной интерес для нас представляет взаимодействие
многих молекул или многих подсистем. Самоорганизацию такого типа, который
мы рассматриваем, можно вызвать различными способами. Мы можем изменить
глобальное воздействие на систему окружающей среды (описываемое
управляющими параметрами). Самоорганизацию может вызвать и одно лишь
увеличение числа компонент системы. Совершенно новый тип поведения на
макроскопическом уровне может возникнуть, даже если мы смешаем те же
компоненты. Наконец, причиной самоорганизации может стать внезапное
изменение управляющих параметров, происшедшее в то время, когда система
релаксирует в новое состояние при новых условиях (связях). Этот аспект
открывает перед нами возможность очень широкого подхода к эволюции
структур, в том числе и к жизни во Вселенной. Вселенная находится в
переходном состоянии, возникшем из "файербола", и расширяется, в ней
могут образовываться упорядоченные структуры.
В этой книге строгие математические формулировки интересуют нас больше,
чем философские обсуждения, поэтому мы кратко расскажем о том, какие
математические методы пригодны для описания перечисленных нами трех типов
самоорганизации.
1.19.1. Самоорганизация через изменение управляющих параметров
Этот случай был подробно рассмотрен выше. При медленном изменении
воздействия окружающей среды система в некоторых критических точках может
переходить в новые состояния, отличающиеся более высоким порядком или
структурой. В частности, могут возникнуть пространственные структуры,
хотя действие окру жающей среды на систему совершенно однородно.
Введение
87
1.19.2. Самоорганизация через изменение числа компонент
Начнем с двух несвязанных систем, описываемых векторами
Предположим, что эти уравнения допускают устойчивые неактивные состояния
Введем связь между системами. Пусть ее описывают функции
Рассмотрим теперь полную систему 1 + 2, описываемую уравнением
Мы ввели параметр а, изменяющийся от 0 до 1 и играющий роль управляющего
параметра. При подходящих, но реалистических условиях изменения параметра
а вызывает неустойчивость нашего первоначального решения (1.19.3), и
вектор q0 = 0 заменяется вектором
указывающим на какие-то новые структуры или активные состояния. Как
показывает этот пример, самоорганизация такого типа допускает
рассмотрение с помощью тех же методов, которые мы использовали, когда
параметр а был обычным управляющим параметром.
Ясно, что если даже изменение управляющих параметров а, выбираемых по
каким-то другим, не связанным с образованием структур соображениям, может
приводить к возникновению структур, то специально подобранные управляющие
параметры тем бо-
(1.19.1)
(1.19.2)
$ = 0, \= 1, 2.
(1.19.3)
q = N (q, а).
(1.19.6)
где
(1.19.8)
(1.19.7)
q+=o,
(1.19.9)
88
Глава 1
лее обладают этой способностью. Например, под влиянием их в цепи могут
резко измениться связи между различными компонентами. Ясно, что это
открывает новые перспективы в изучении функций мозга с помощью
неравновесных фазовых переходов.
1.19.3. Самоорганизация через переходы
Структуры могут возникнуть в результате самоорганизации, когда система из
некоторого начального (неупорядоченного или однородного) состояния
переходит в другое, конечное состояние, которое не обязательно указывать
(оно может даже не существовать). Это особенно наглядно видно на примере
вектора состояния вида
q(x, t) = u{t)v(x), (1.19.10)
где v (х) описывает некоторый пространственный порядок, а
и = Хи (1.19.11)
- уравнение для параметра порядка. При быстром изменении управляющего
параметра а, когда неравенство быстро переходит в неравенство ^>0,
появляется переходный вектор состояния вида
q (х, 0 = ewv(x). (1.19.12)
Ясно, что он описывает некоторую структуру, но не стремится к новому
устойчивому состоянию.
За описанным нами подходом кроется глубокая философская проблема
(присущая всем случаям самоорганизации), поскольку для того, чтобы могло
возникнуть решение (1.19.12), в системе должны существовать какие-то
