Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 28

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 152 >> Следующая

функции от Е2, начинающиеся с квадратичных (или билинейных) членов по Е2.
Вспомним теперь, что мы находимся близко к значению управляющего
параметра а, при котором система теряет устойчивость в линейном
приближении, т. е. Re {А^} изменяет знак. Но это означает, что
поэтому
применйм принцип подчинения. Следовательно, мы можем выразить |2 через h
(U = / (Ei)) и свести задачу к решению одного уравнения вида
ii = + Ni (li),
(1.14.10)
где
NAl^NAh, fill))- (1.14.11)
Рассмотрим теперь малую окрестность точки = 0, в которой функцию N! (?х)
можно аппроксимировать многочленом и при малых значениях удерживать
только его главный член. Если - Pli - главный член функции Nи то
уравнение для параметра порядка имеет вид
5i = *iii-PSi, Р>0. (1.14.12)
Ограничив только вещественными значениями, мы получим уже встречавшееся
нам уравнение (1.13.1), описывающее соскальзывание шарика по стенке вазы
с одним (^i<0) или с двумя (А^Х)) ямами в разрезе. Следовательно,
единственный узел, существующий при ^!<0, переходит в два узла при
11>0 (рис. 1.13.5
и 1.13.6). Иначе говоря, происходит бифуркация из одного узла
в два узла (рис. 1.14.1). Следует подчеркнуть, что (1.14.12) описывает не
только новые положения равновесия, но и релаксацию
Рис. 1.14.1. Два представления бифуркации устойчивого узла в два
устойчивых узла. Вверху два потока изображены на одной и той же
плоскости. Внизу управляющий параметр X отложен по абсциссе, а потоки до
и после бифуркации изображены на двух отдельных плоскостях,
перпендикулярных оси X.
Введение
системы в эти положения, что позволяет проверить их устойчивость.
Надеемся, что приведенный пример в какой-то мере убедил читателя в
разрешимости нелинейного уравнения (1.14.2) и позволил увидеть, какого
рода качественное изменение происходит в данном случае.
Вся остальная часть этого раздела посвящена классификации и качественному
описанию явлений в точках неустойчивости. Математические подходы к
адекватному анализу происходящих при этом явлений подробно излагаются в
последующих главах. Например, в разд. 8.3 мы рассмотрим более сложные
задачи, в которых положительными становятся несколько собственных
(вещественных) значений.
1.14.2. Бифуркация из фокуса в предельный цикл (бифуркация Хопфа)
Наиболее известным примером бифуркации является бифуркация Хопфа. В этом
случае два комплексно-сопряженных собственных значения
А,=
= %'
= АЛ
-ш,
-г со,
(1.14.13)
где А/, со вещественны и отличны от нуля, пересекают мнимую ось, так что
А' > 0. При этом возбуждаются колебания и происходит бифуркация
первоначально устойчивого фокуса в предельный цикл (рис. 1.14.2). В этой
связи уместно сделать одно общее замечание. Потеря устойчивости в
линейном приближении отнюдь не гарантирует устойчивость вновь возникших
состояний. Наоборот, необходимо разработать методы, позволяющие в явном
виде проверять новые решения на устойчивость. Наш подход, излагаемый
ниже, делает устойчивость новых состояний непосредственно очевидной.
Рис. 1.14.2. Два представления бифуркации устойчивого фокуса в устойчивый
предельный цикл, аналогичных представлениям бифуркации на рис. 1.14.1.
1.14.3. Бифуркация из предельного цикла
В ряде реалистических случаев дальнейшее изменение управляющего параметра
может привести к неустойчивости предельного цикла. Учет этого явления
требует обобщения анализа устойчиво-
66
Глава I
сти по линейному приближению с помощью подстановки (1.14.5), так как
движение по предельному циклу описывается вектором q0 (^), зависящим от
времени. Следовательно, оператор L из (1.14.4) становится функцией от t,
причем периодической. В этом случае мы можем исследовать устойчивость по
показателям Флоке К, входящим в (1.14.5), используя результаты,
приведенные в разд. 2.7.
Рис. 1.14.3. Бифуркация предельного цикла на плоскости в два предельных
цикла на той же плоскости. Старый предельный цикл, ставший неустойчивым,
изображен справа штриховой линией.
Рис. 1.14.4. Временная зависимость переменной gy (t) предельного цикла до
(слева) и после (справа) бифуркации. Переменные qx новых устойчивых
предельных циклов показаны сплошной и штрихпунктирной линиями.
Неустойчивому предельному циклу соответствует штриховая линия.
Если один вещественный показатель % становится положительным, то старый
предельный цикл может распасться на новые предельные циклы (рис. 1.14.3 и
1.14.4). С другой стороны, если вещественная часть комплексного
собственного значения
(1.14.13) становится положитель-
Рис. 1.14.5. Бифуркация двумерного предельного цикла в трехмерный
предельный цикл. В зависимости от отношения частот вращения вокруг и
вдоль штриховой линии при бифуркации могут возникать как незамкнутые, так
и замкнутые траектории. Если траектория замкнута, то возникает новый
предельный цикл. В остальных случаях траектория заполняет тор.
Рис. 1.14.6. Временная зависимость переменной qx (t) предельного цикла до
(слева) и после (справа) бифуркации.
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed