Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
флуктуации. В противном случае решение к = 0 и, следовательно, q = 0
осталось бы незыблемым навсегда.
1.20. Как мы намереваемся действовать дальше?
В этой книге наше внимание сосредоточено на ситуациях, в которых системы
претерпевают качественные изменения. Наша генеральная линия может быть
разбита на следующие этапы:
1) изучение потерь устойчивости,
2) вывод принципа подчинения,
3) вывод и решение уравнений для параметров порядка.
Следуя этому плану (см. табл. 1.20.1), мы начинаем с изучения
потери устойчивости, поэтому гл. 2 и 3 посвящены теории линейных
дифференциальных уравнений. Если в гл. 2 собраны результаты, хорошо
известные в математике (но, возможно, изложенные до некоторой степени по-
новому), то гл. 3 содержит большей частью новые результаты. Возможно, она
покажется несколько трудной, и при первом чтении ее можно опустить.
Введение
89
Таблица 1.20.1. Схема связей между главами книги. Обратите внимание на
то, что слова в рамках не совпадают с названиями глав
Глава Z 1 устойчивость 1 движения,
Глава 3 ) нелинейные уравнения
Глава д: стохастические нелинейные уравнения
Глава 5 связанные нелинейные
\ осцилляторы.
Глава 6 квази периоды ческое
движение
Глава 7: принцип подчинения
Глава S: уравнения для параметров порядка без флуктуаций, дискретные
системы
Глава 9: уравнения для параметров порядка, сплошные среды
Глава 10: уравнения для параметров порядка с учетом флуктуаций
Глава 11- дискретные отображения с шумом
Глава 13: нерешенная проблема
Глава 13: немного теории познания
В гл. 4 заложена основа для стохастических методов, используемых главным
образом в гл. 10. В гл. 5 и 6 рассмотрены связанные нелинейные
осцилляторы и квазипериодическое движение. Обе главы (5 и 6) содержат
подготовительный материал к гл. 8 (в особенности, к разделам 8.8-11). В
гл. 6 излагается важная теорема Мозера. Чтобы не перегружать основной
текст, ее доказательство (принадлежащее Мозеру) вынесено в приложение. В
гл. 7 подводится итог нашего продвижения по основному направлению,
начатого в гл. 2 и 3, и рассматривается принцип подчинения (для
нелинейных дифференциальных уравнений с флуктуирующими силами и без них).
В этой главе излагаются также новые результаты,.
90
Глава 1
имеющие решающее значение для гл. 8 и 9, поскольку они позволяют резко
уменьшить число степеней свободы. Гл. 8 и 9 посвящены в основном
рассмотрению одной проблемы: выводу и решению уравнений для параметров
порядка. В гл. 8 рассматриваются дискретные системы, в гл. 9 - непрерывно
распределенные системы. Ряд результатов публикуется впервые. В гл. 10
исследуется влияние флуктуаций на системы в точках неустойчивости.
Следующая глава посвящена некоторым общим подходам к дискретным
отображениям с шумом и также в русле основного направления книги.
Гл. 12 выпадает из общего направления. В ней показано, что даже на
сравнительно простые (на первый взгляд) вопросы, возникающие в теории
динамических систем, ответов в принципе не существует. Наконец, гл. 13
резюмирует тему вводной главы: какое место занимает синергетика среди
других наук. В некотором смысле эту главу можно рассматривать как своего
рода краткий экскурс в теорию познания. В заключение замечу, что гл. 2-6
полезны при решении проблем и в тех случаях, когда системы находятся
далеко от точек неустойчивости.
Глава 2
ЛИНЕЙНЫЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе мы основательно изучим решения линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений. Такие уравнения продолжают играть
немаловажную роль во многих естественных, да и не только естественных
науках (например, в экономике) и поэтому заслуживают особого
рассмотрения. Не будем забывать и о том, что наша главная цель состоит в
исследовании нелинейных уравнений; при построении их решений нам иногда
придется обращаться к решениям линейных уравнений.
Материал этой главы расположен по следующему плану. Разд. 2.1 посвящен
свойствам решений однородных дифференциальных уравнений различного типа.
По характеру зависимости коэффициентов этих уравнений от времени они
подразделяются на уравнения с постоянными, периодическими,
квазипериодическими коэффициентами, а также на уравнения более общего
типа. В разд. 2.2 мы покажем, как применить понятие инвариантности
относительно групповых операций к уравнениям двух первых типов. В разд.
2.3 мы познакомимся с неоднородными дифференциальными уравнениями.
Некоторые общие теоремы из алгебры и теории линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений (связанные системы) приведены в разд. 2.4. В
разд. 2.5 вводятся пространства дуальных решений. Общий вид решений для
случая постоянных и периодических матриц коэффициентов рассмотрен
соответственно в разд. 2.6-2.8. В разд. 2.8 и в начале разд. 2.7 мы
затрагиваем некоторые аспекты теории групп, а из разд. 2.8 читатель
сможет почерпнуть начальные сведения по теории представлений. В разд. 2.9
мы излагаем теорию возмущений, позволяющую получить явные решения для
