Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивый предельный цикл, то, как будет показано в дальнейшем,
показатель Ляпунова, соответствующий возмущению 6q, которое
трансверсально предельному циклу q0 (/), отрицателен (устойчивость!), в
то время как показатель Ляпунова, соответствующий возмущению 8q в
тангенциальном направлении, равен нулю. Следовательно, (кг, Я2) = (-, 0).
Может представиться "патологический" случай, когда (Я1( Я2) = (-, 0), но
существует не предельный цикл, а линия, заполненная особыми точками.
Перечислим, наконец, типичные аттракторы в трехмерном случае. Будем
предполагать всякий раз, что аттрактор q0 (т. е. | q01) остается
ограниченным при t оо. Итак, возможны следующие типы аттракторов:
(Яь Я2, Я3) = (-, -, -) устойчивый фокус (особая точка),
(>4, Я2, Я3) = (-, -, 0) устойчивый предельный цикл.
Соседние траектории предельного цикла могут приближаться к нему по двум
линейно независимым направлениям, трансверсаль ным предельному циклу,
так, что (Я1; Я2) - (-, -), в то время как третий показатель Ляпунова,
соответствующий сдвигу траектории в тангенциальном направлении, равен
нулю.
Далее
(Яь Я2, ^з) = ( -. 0, 0) устойчивый тор.
Рассмотрение этого случая проводится по аналогии с случаем предельного
цикла. (Существуют некоторые тонкости типа упоминавшегося выше
патологического случая).
Если один из показателей Ляпунова положителен, то может возникнуть хаос.
Во всяком случае, эта ситуация требует дополнительного обсуждения. Так,
(Яь Я2, Я3) = (+, 0, 0) может означать, что мы имеем дело с неустойчивым
тором (не являющимся аттрактором). Если аттрактор обладает показателем
(Яь Я2, Я3) = (+, 0, -), то он- считается странным ("хаотическим"),
показатели (Яь Я2, Я3) = (+, +, 0) могут означать неустойчивый пре-
Введение
73
дельный цикл (не являющийся аттрактором) и т. д. Поскольку у странного
аттрактора по крайней мере один показатель Ляпунова положителен, соседние
траектории быстро расходятся. Но так как соседние траектории порождаются
начальными условиями, которые хотя и отличаются, но весьма незначительно,
мы заключаем, что явления, описываемые странным аттрактором,
чувствительны к изменениям начальных условий. Следует особо подчеркнуть,
что исследования, связанные с показателями Ляпунова (их значения для
аттракторов, способы их определения), находятся в стадии разработки.
В заключение упомянем следующую полезную теорему: если q (t) -
траектория, которая остается в ограниченной области (например, траектория
аттрактора), и она не заканчивается в особой точке, то по крайней мере
один из показателей Ляпунова равен нулю. Подробную формулировку этой
теоремы и ее доказательство мы приведем в разд. 2.4.
1.15. Влияние флуктуаций (шумов). Неравновесные фазовые переходы
До сих пор мы рассмотрели ряд типичных явлений, пренебрегая шумами, т. е.
влиянием флуктуаций на систему. Однако в последние годы стало ясно, что
именно в критических точках, т. е. там, где система изменяет свое
макроскопическое изменение, флуктуации играют решающую роль.
Фундаментальные законы теоретической физики позволяют утверждать, что
там, где происходит диссипация, должны быть и флуктуации. Следовательно,
при рассмотрении физических, химических, биологических, механических или
электрических систем пренебрегать флуктуациями не следует, по крайней
мере если речь идет о системах, достаточно близких к критическим точкам.
Для фазовых переходов систем, находящихся в состоянии термодинамического
равновесия, адекватный учет флуктуаций был давно стоявшей проблемой,
разрешить которую удалось лишь недавно методом ренормгруппы. В этой книге
нас интересуют неустойчивости физических и химических систем, находящихся
далеко от состояния термодинамического равновесия, и некоторых других
систем. В этом круге явлений флуктуации играют не менее важную роль и
описание их требует новых подходов. Например, принцип подчинения, с
которым мы познакомились в разд. 1.13, по-видимому, позволяет учесть
флуктуации (см. гл. 7), и уравнения для параметров порядка следует решать
при адекватном включении флуктуаций (гл. 10). Не вдаваясь в подробности,
можно сказать, что флуктуации превращают явления и проблемы бифуркаций
(достаточно трудные сами по себе) в еще более сложные явления и
соответственно еще более трудные проблемы неравновесных фазовых
переходов.
74
Глава 1
Роль флуктуаций станет понятной, если мы приведем несколько относительно
простых примеров. Рассмотрим переход одного устойчивого узла в два
устойчивых узла и один неустойчивый узел (такой переход уже встречался
нам на рис. 1.13.5 и 1.13.6). При наличии шумов представляющая точка
системы q (t) даже в стационарном состоянии все время совершает случайные
движения то в одну, то в другую сторону. Следовательно, мы можем говорить
лишь о вероятности найти вектор системы q в некотором элементе
\ Щ) j
\ /' "\ /
\ / \ /
\ / \ /
у \/
/\ А
у \
ч
Рис. 1.15.1. Плотность вероятности f (q) (штриховая линия),
соответствующая узлу. Сплошной линией показан потенциал, в котором
