Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
нои, то новый предельный цикл накладывается на старый. Возникающее при
этом движение вектора-решения q (t) наглядно можно себе представить как
движение по тору (рис. 1.14.5 и 1.14.6). Иначе говоря, движение
становится квазипериоди-ческим. Потеря устойчивости предельным циклом
может
Введение
67
сопровождаться и другими явлениями. Старый предельный цикл, исчезая,
может уступить место новому предельному циклу, при движении по которому
системе, для того чтобы вернуться в исходное состояние, требуется вдвое
больше времени, чем при движении
Рис. 1.14.7. Проекция (из пространства qlt q2, t) решения уравнения
Дуффинга .г + kx -j- х3 = Tlcos^,
где q1 х, q2 = * на плоскость q1, q2 при значениях управляющих параметров
k - 0,35; А 6,6. Возник предельный цикл.
Рис. 1.14.8. Решение уравнения Дуффинга при k~ 0,35; А = 8,0. Период стал
вдвое больше, чем на рис. 1.14.7, но снова возникла замкнутая орбита
(удвоение периода).
Период стал в 4 раза больше по сравнению с исходным предельным циклом на
рис. 1.14.7.
Рис. 1.14.10. Временная зависимость координаты q1 (t) в случае исходного
предельного цикла (рис. 1.14.7).
по исходному предельному циклу. Иначе говоря, происходит удвоение
периода, или генерация субгармоники. Известно много систем различной
природы (от гидродинамики до электронных систем), претерпевающих при
изменении управляющего параметра иерархию последовательных удвоений
периода. Типичные режимы, возникающие при удвоении периода, показаны на
рис. 1.14.7-1.14.12.
68
Глава I
Явление удвоения периода, или, иначе, генерации субгармоники, давно
известно в электронике. Например, некоторые электронные цепи описываются
уравнением Дуффинга
Я + + УЯ + &73 = + а2 sin ((о<Д
(1.14.14)
соответствующим отклику нелинейного осциллятора на периодическую
возмущающую силу. Даже это весьма простое уравнение
Рис. 1.14.11. Вр еменная зависимость координаты qt (t) после удвоения
периода. Обратите внимание на то, что глубина двух последовательных
минимумов различна.
Рис. 1.14.12. Временная зависимость координаты (t) после учетверения
периода. Как показывает более внимательное рассмотрение менее глубоких
минимумов, весь цикл повторяется за время, в 4 раза большее, чем в случае
исходного предельного цикла.
описывает множество явлений, связанных с удвоением и утроением периода.
Другие субгармоники также могут присутствовать. Может наблюдаться целая
последовательность удвоений или утроений периода. По-видимому, мы
находимся здесь в самом начале новой теории, которая позволит изучать не
только одну бифуркацию или несколько последовательных бифуркаций, но и
всю иерархию бифуркаций. В этой связи уместно высказать одно
предостережение: в то время как некоторые классы уравнений (некоторые
"дискретные отображения", см. разд. 1.17) позволяют воспроизводить полную
последовательность удвоений периода, реальные системы могут обладать
более сложным поведением, например допускать режимы с удвоением и
утроением периода или даже смешанные режимы.
1.14.4. Бифуркации из тора в другие торы
Выше мы видели, что предельный цикл может при бифуркации переходить в
тор. Недавно были открыты бифуркации из тора в другие торы той же или
более высокой размерности.. При исследовании бифуркаций этого типа
возникают особые трудности. Как показывает математический анализ,
решающую роль играет весьма
Введение
69
специфическое условие иррациональности отношений основных частот сох,
со2, • • • системы. Многие из последующих разделов будут посвящены
выяснению теоретико-числовой природы частот. Некоторые аспекты такого
рода задач известны в небесной механике, где соответствующие трудности
были успешно преодолены лет двадцать назад. Но если в небесной механике
рассматриваются гамильтоновы, т. е. недиссипативные, системы и основной
интерес представляет устойчивость движения, то нас интересуют
диссипативные системы с внешней накачкой и качественные изменения
макроскопических свойств (в частности, бифуркации из тора в другие торы).
1.14.5. Странные аттракторы
Когда движение по тору становится неустойчивым из-за изменения
управляющего параметра и не выполняются специфические условия
иррациональности отношения частот, поток q (/) может
си,
сиг
¦ си
со, соп
¦ со
Рис. 1.14.13. Возникновение комбинационных частот в спектре мощности /
(и). Слева: спектр до перестройки. Система совершает колебания
с двумя основными частотами coj и со2. Справа: спектр после перестройки.
Частоты (Bj и со2 исчезли (штриховые линии), появилась одна
комбинационная частота ш0.
вести себя по-разному. Тор может снова выродиться в предельный цикл, т.
е. спектр может перестроиться: какие-то частоты могут исчезнуть, а вместо
них могут появиться новые комбинационные частоты (рис. 1.14.13). Широкий
класс явлений, представляющих для нас особый интерес, связан с
хаотическими движениями, т. е. со странными аттракторами, о которых мы
кратко упоминали.
Результаты проведенных исследований имеют важное значение для многих
