Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
случая матриц периодических коэффициентов.
2.1. Примеры линейных дифференциальных уравнений: случай одной
переменной
Рассмотрим переменную q, которая зависит от переменной ty т. е. q (t), и
предположим, что q непрерывно дифференцируема. Переменную t мы будем
интерпретировать как время, хотя в неко-
92
Глава 2
торых приложениях она имеет другой смысл (например, под t иногда можно
понимать пространственную координату). Если противное явно не оговорено,
будем считать, что t изменяется от - оо до +°°. Начнем с изучения
различных наиболее типичных классов однородных дифференциальных
уравнений.
2.1.1. Линейное дифференциальное уравнение
с постоянным коэффициентом
Рассмотрим уравнение
q = aq, (2.1.1)
где а - постоянный коэффициент. Решение этого уравнения имеет вид
q (t) = Сеи, (2.1.2)
где Я = а, в чем нетрудно убедиться, подставив (2.1.2) в (2.1.1).
Постоянную С можно фиксировать, задав начальное условие, например
потребовав, чтобы при t - О
g(O) = g0, (2.1.3)
где q0 - заранее заданное значение. Тогда
С = ?о = д(0), (2-1.4)
и (2.1.2) можно представить в виде
q(t)=q(0)eu, (Я = а). (2.1.5)
Как показано в разд. 1.14 и 1.16, линейные дифференциальные урав-
нения играют важную роль в анализе устойчивости решений нелинейных
уравнений, поэтому и здесь, и далее мы будем рассматривать временную
зависимость решений (2.1.5) при больших временах t. Ясно, что при 0
асимптотическое поведение решения (2.1.5) определяется знаком Re
(Я,). Если Re{^)>0, то |^| воз-
растает экспоненциально. Если Re (Я} = 0, то q (t) - постоянная. Наконец,
если Re {Я}<0, то | q | экспоненциально затухает. Число Я называется
характеристическим показателем.
2.1.2. Линейное дифференциальное уравнение с периодическим коэффициентом
В качестве следующего примера рассмотрим уравнение
q = a(t)q, (2.1.6)
где a (t) по предположению - непрерывная функция. Решение уравнения
(2.1.6) имеет вид
q = q (0) exp a (x) dx j • (2.1.7)
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 93
Необходимо различать несколько типов зависимости а (t) от t. Если
коэффициент а (t) - периодический и, например, непрерывно
дифференцируемый, то его можно разложить в ряд Фурье:
a(t)=c0+ Е cneinatt. (2.1.8)
П=- оо
пФ О
Выясним теперь асимптотическое поведение решения (2.1.7). Подставив для
этого (2.1.8) в интеграл, входящий в (2.1.7), получим
t
а (т) dx = tc0+ У (7'"'- 1) • (2.1.9)
/ j into
О пф О
При п Ф 0 сумма в (2.1.9) сходится по крайней мере в тех случаях, когда
сходится сумма в (2.1.8). Следовательно, сумма в (2.1.9) есть
периодическая функция, и асимптотическое поведение решения
(2.1.7) определяется коэффициентом с0 в (2.1.8). В зависимости от
того, будет его вещественная часть положительна, равна нулю или
отрицательна, мы получим экспоненциальный рост, нейтральное решение или
экспоненциальное затухание.
Объединяя формулы (2.1.7) - (2.1.9), запишем решение уравнения (2.1.6) в
виде
q (t) = eKtu (t) (2.1.10)
с характеристическим показателем X = с0 и
u(t) = q (0) ехр
/ j гпсо п - 0
(2.1.11)
Поскольку экспонента от периодической функции есть снова периодическая
функция, и (t) периодична. Итак, мы установили, что решения
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами а (t) имеют
вид (2.1.10), где и (t) - периодическая функция. Поскольку и (t)
ограничена, асимптотическое поведение | q (t) | определяется показателем
Re {Xt}, как и утверждалось.
2.1.3. Линейное дифференциальное уравнение с квазипериодическим
коэффициентом -J
Возможно, кто-нибудь из читателей склонен считать наш перечень примеров
скучным, но уже при рассмотрении следующего более сложного примера мы
сталкиваемся со специфической трудностью. Предположим, что в уравнении
q = a{t)q (2.1.12
94
Глава 2
коэффициент a (t) квазипериодический, т. е. допускает разложение в
кратный ряд Фурье:
a(t) = c0+ 2 cmexp(i'm-otf), (2.1.13)
ш ^0
где m-га-мерный вектор с целочисленными компонентами, к" -• вектор той же
размерности с компонентами сосо.2, . . . , сол, так что
rn-o) = (m.o)) = m1co1 + m2a)2+ . . . +тпсо". (2.1.14)
Будем считать, что (2.1.14) обращается в нуль только в том случае,
если | m | = 0 (иначе мы могли бы выразить одну или
несколько
компонент со/ через остальные, и число "независимых" компонент вектора со
было бы меньше п\ если бы среди компонент со/ независимой была лишь одна,
то коэффициент (2.1.13) был бы периодической функцией). Иначе говоря, мы
исключаем все со, которые представимы в виде линейных комбинаций других с
рациональными коэффициентами. Формальное решение уравнения (2.1.12) снова
имеет вид (2.1.7). Вычислим теперь интеграл, стоящий в показателе
экспоненты в (2.1.7). Если ряд в (2.1.13) сходится абсолютно, то его
можно интегрировать почленно:
t
[ a(T)dr - Cot+ V ------[exp (mvcoZ1)-1]. (2.1.15)
J cm и
0 m= 0
Для того чтобы сумма в (2.1.15) имела такой же вид, как в (2.1.13), т. е.
была квазипериодической функцией, ее необходимо преобразовать следующим
