Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 39

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 152 >> Следующая

образом:
"nfVexp(rni.coO +const. (2.1.16)
m -О
Однако не зависящие от времени члены (2.1.15), формально равные
const = - V _ . -> (2.1.17)
/_/ im-co 4 '
m О
и аналогично первый член (2.1.16) не обязательно сходятся. Почему? Дело в
том, что среди чисел т. могут быть отрицательные, поэтому при некоторых
комбинациях
т - со -> О (2.1.18)
при
|т|->-оо. (2.1.19^
[Условие (2.1.18) может выполняться даже при конечных т, если отношения
частот со рациональны: в этом случае m-со = 0 при некотором m = m0. Наше
предположение относительно со исклю-
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 95
чает подобную ситуацию.] Может показаться, что соотношения
(2.1.18) удастся избежать, если отношения частот иррациональны.
Доказано, однако, что и при иррациональных отношениях частот оба
соотношения (2.1.18) и (2.1.19) могут выполняться. Так как то входит в
знаменатель, ряд (2.1.18) не обязательно сходится, даже если сходится ряд
? | ст |. Возникает вопрос: при каких ус-
m
ловиях ряд (2.1.17) все же сходится? Так как ст и то входят вместе, это
условие относится и к ст, и к со/. Нестрого можно сказать, что требуется
найти такие ст, которые бы стремились достаточно быстро к нулю при | m )-
>- оо, и такие со/, при которых произведение |то| стремилось бы
достаточно медленно к нулю при |т|->-оо. Тогда ряд (2.1.17) сошелся бы. И
с математической, и с практической точек зрения условие на со/
представляет больший интерес, поэтому мы начнем с него.
Итак, требуется найти такие со/, отношения которых, так сказать,
"достаточно иррациональны". Математически это условие можно выразить по-
разному. Часто ему придают вид неравенства
1 (т-ш) [ > К\\т\~{п"1}, (2.1.20)
где
!lmll = l"il + lm2|+ ¦ • • +\тп\. (2.1.21)
Здесь К - постоянная. При ||т||->-оо левая часть (2.1.20) по-прежнему
может стремиться к нулю, но достаточно медленно. Условие (2.1.20),
(2.1.21) называется условием - Колмогорова-Арнольда-Мозера, или
сокращенно условием КА М. Если задана реальная система, то возникает
вопрос, удовлетворяют ли ее частоты условию КАМ (2.1.20), (2.1.21). С
точки зрения математики такой вопрос разумен, однако ответить на него для
реальных систем весьма трудно, если вообще возможно. Кроме того,
поскольку системы подвержены флуктуациям, весьма сомнительно, чтобы
условие КАМ выполнялось при любых t, даже если оно выполняется при каком-
то t. Более разумен другой вопрос: какова вероятность того, что данные
частоты удовлетворяют условию КАМ? Ответ на него дает следующая
математическая теорема (которую мы приведем без доказательства): в
пространстве о) = (о^, со2, . . . , а>п) относительная мера тех со,
которые не удовлетворяют условию КАМ, стремится к нулю как К.
Следовательно, при достаточно малых К большинство со удовлетворяет
неравенству (2.1.20).
Обсудим теперь вторую проблему, а именно скорость сходимости
коэффициентов ст в (2.1.13). Поскольку обычный (однократный) ряд Фурье
более удобен в обращении, чем кратный ряд Фурье вида (2.1.13), попытаемся
связать (2.1.13) с простым рядом Фурье. Достигается это с помощью
следующего трюка. Введем вспомога-
96
Глава 2
тельные переменные Ф1( Ф2, . . . , Ф" и заменим a (t) в (2.1.13)
выражением
a(t, Ф1( Ф2, . . ¦ , Фп) = с0+ Z cm exp + . . .
тМ=0
. . . -f 1тп(йпФп-\- гт-оК), (2.1.22) т. е. функцией от Фь Ф2, . . . , Ф"
и t. Время t можно "исключить", введя Фу = Ф/ + t. Зафиксируем все
переменные Ф, кроме одной, например Фу. Это позволит нам применить к
(2.1.22) теоремы о простых рядах Фурье. Воспользуемся следующей теоремой
(для простоты обозначений положим соуФу = х). Пусть функция
/М:
ате
(2.1.23)
имеет непрерывные производные до (h-1)-го порядка включительно и кусочно-
непрерывные производные h-го порядка. Тогда
(2.1.24)
Обратимся к (2.1.22) и предположим, что производные коэффициента а
удовлетворяют условиям теоремы при всех Фу. Тогда
С
<
(2.1.25)
Теперь мы уже располагаем всем необходимым для того, чтобы показать, как
действует условие КАМ. Исследуем сходимость ряда, стоящего в правой части
(2.1.17). Начнем с неравенства (?' означает суммирование по m Ф 0)
I с" I
<
|ш-ю|
(2.1.26)
которое, воспользовавшись соотношениями (2.1.21) и (2.1.25), преобразуем
к виду
Г
<
к
I
(I mi! + •
\тп\)
п+1
. (2.1.27)
Для того чтобы получить достаточное условие сходимости (2.1.27), заменим
все \nij \ в числителе их максимальным значением:
тл+1
Z m trnc
nn+1
к
I ml I
(2.1.28)
Из элементарного признака сходимости заключаем, что (2.1.28) сходится,
если h > п + 3 (h - целое число). Как показывает
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
97
проделанное нами упражнение из анализа, условие КАМ и сходимость ряда
(2.1.17) связаны между собой.
Пусть коэффициенты ст сходятся так быстро, что если выполняется условие
КАМ (2.1.20), то первая сумма в (2.1.16) сходится абсолютно. Тогда
решение уравнения (2.1.12) с квазипериодическим коэффициентом (2.1.13)
можно представить в виде
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed